Derivada de x*exp(2*x)/(6*x+7)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x e^{2 x}$ y $g{\left(x \right)} = 6 x + 7$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{2 x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 e^{2 x}$

      Como resultado de: $2 x e^{2 x} + e^{2 x}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $6 x + 7$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $7$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $6$

      Como resultado de: $6$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 6 x e^{2 x} + \left(6 x + 7\right) \left(2 x e^{2 x} + e^{2 x}\right)}{\left(6 x + 7\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(- 6 x + \left(2 x + 1\right) \left(6 x + 7\right)\right) e^{2 x}}{\left(6 x + 7\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 6 x + \left(2 x + 1\right) \left(6 x + 7\right)\right) e^{2 x}}{\left(6 x + 7\right)^{2}}$