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y=(ctgx)/(x-x^3)
Derivada de la función/ x-x^3/ y=(ctgx)/(x-x^3)

Derivada de y=(ctgx)/(x-x^3)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
cot(x)
------
     3
x - x
cot⁡(x)−x3+x\frac{\cot{\left(x \right)}}{- x^{3} + x} 
cot(x)/(x - x^3)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=cot⁡(x)f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} y g(x)=−x3+xg{\left(x \right)} = - x^{3} + x.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

      2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos −x3+x- x^{3} + x miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

        Entonces, como resultado: −3x2- 3 x^{2}

      Como resultado de: 1−3x21 - 3 x^{2}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −(1−3x2)cot⁡(x)−(−x3+x)(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)tan⁡2(x)(−x3+x)2\frac{- \left(1 - 3 x^{2}\right) \cot{\left(x \right)} - \frac{\left(- x^{3} + x\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}}{\left(- x^{3} + x\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    x(x2−1)+(3x2−1)sin⁡(2x)2x2(x2−1)2cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{x \left(x^{2} - 1\right) + \frac{\left(3 x^{2} - 1\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

x(x2−1)+(3x2−1)sin⁡(2x)2x2(x2−1)2cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{x \left(x^{2} - 1\right) + \frac{\left(3 x^{2} - 1\right) \sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
        2      /        2\       
-1 - cot (x)   \-1 + 3*x /*cot(x)
------------ + ------------------
        3                  2     
   x - x           /     3\      
                   \x - x /
(3x2−1)cot⁡(x)(−x3+x)2+−cot⁡2(x)−1−x3+x\frac{\left(3 x^{2} - 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\left(- x^{3} + x\right)^{2}} + \frac{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{- x^{3} + x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                         /               2\                                   \
  |                         |    /        2\ |                                   |
  |                         |    \-1 + 3*x / |                                   |
  |                         |3 - ------------|*cot(x)                            |
  |                         |     2 /      2\|          /       2   \ /        2\|
  |  /       2   \          \    x *\-1 + x //          \1 + cot (x)/*\-1 + 3*x /|
2*|- \1 + cot (x)/*cot(x) + ------------------------- - -------------------------|
  |                                        2                     /      2\       |
  \                                  -1 + x                    x*\-1 + x /       /
----------------------------------------------------------------------------------
                                     /      2\                                    
                                   x*\-1 + x /
2((3−(3x2−1)2x2(x2−1))cot⁡(x)x2−1−(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)−(3x2−1)(cot⁡2(x)+1)x(x2−1))x(x2−1)\frac{2 \left(\frac{\left(3 - \frac{\left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{x^{2} - 1} - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - \frac{\left(3 x^{2} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right)}{x \left(x^{2} - 1\right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                                                                       /                                3\                                            \
  |                                                /               2\     |      /        2\    /        2\ |                                            |
  |                                                |    /        2\ |     |    6*\-1 + 3*x /    \-1 + 3*x / |                                            |
  |                                  /       2   \ |    \-1 + 3*x / |   3*|1 - ------------- + -------------|*cot(x)                                     |
  |                                3*\1 + cot (x)/*|3 - ------------|     |             2                  2|                                            |
  |                                                |     2 /      2\|     |       -1 + x        2 /      2\ |            /       2   \ /        2\       |
  |/       2   \ /         2   \                   \    x *\-1 + x //     \                    x *\-1 + x / /          3*\1 + cot (x)/*\-1 + 3*x /*cot(x)|
2*|\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/ - ---------------------------------- + -------------------------------------------- + ----------------------------------|
  |                                                   2                                   /      2\                                 /      2\            |
  \                                             -1 + x                                  x*\-1 + x /                               x*\-1 + x /            /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                         /      2\                                                                        
                                                                       x*\-1 + x /
2(−3(3−(3x2−1)2x2(x2−1))(cot⁡2(x)+1)x2−1+(cot⁡2(x)+1)(3cot⁡2(x)+1)+3(3x2−1)(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)x(x2−1)+3(1−6(3x2−1)x2−1+(3x2−1)3x2(x2−1)2)cot⁡(x)x(x2−1))x(x2−1)\frac{2 \left(- \frac{3 \left(3 - \frac{\left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2} - 1} + \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{3 \left(3 x^{2} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)} + \frac{3 \left(1 - \frac{6 \left(3 x^{2} - 1\right)}{x^{2} - 1} + \frac{\left(3 x^{2} - 1\right)^{3}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \cot{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right)}{x \left(x^{2} - 1\right)}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=(ctgx)/(x-x^3)
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