Derivada de x*((x-8)^(1/3))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x - 8}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x - 8$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{u}$ tenemos $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 8\right)$:

      1. diferenciamos $x - 8$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $-8$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{3 \left(x - 8\right)^{\frac{2}{3}}}$

   Como resultado de: $\frac{x}{3 \left(x - 8\right)^{\frac{2}{3}}} + \sqrt[3]{x - 8}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4 \left(x - 6\right)}{3 \left(x - 8\right)^{\frac{2}{3}}}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(x - 6\right)}{3 \left(x - 8\right)^{\frac{2}{3}}}$