Derivada de y=(8x^3-9/(x^2√x)+6)^5

1. Sustituimos $u = \left(8 x^{3} - \frac{9}{\sqrt{x} x^{2}}\right) + 6$.

2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\left(8 x^{3} - \frac{9}{\sqrt{x} x^{2}}\right) + 6\right)$:

   1. diferenciamos $\left(8 x^{3} - \frac{9}{\sqrt{x} x^{2}}\right) + 6$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $8 x^{3} - \frac{9}{\sqrt{x} x^{2}}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            Entonces, como resultado: $24 x^{2}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = \sqrt{x} x^{2}$.

            2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x} x^{2}$:

               1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

                  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

                  $f{\left(x \right)} = x^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

                  $g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

                  Como resultado de: $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

            Entonces, como resultado: $\frac{45}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

         Como resultado de: $24 x^{2} + \frac{45}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

      2. La derivada de una constante $6$ es igual a cero.

      Como resultado de: $24 x^{2} + \frac{45}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $5 \left(24 x^{2} + \frac{45}{2 x^{\frac{7}{2}}}\right) \left(\left(8 x^{3} - \frac{9}{\sqrt{x} x^{2}}\right) + 6\right)^{4}$

4. Simplificamos:

   $\frac{\left(120 x^{\frac{11}{2}} + \frac{225}{2}\right) \left(8 x^{\frac{11}{2}} + 6 x^{\frac{5}{2}} - 9\right)^{4}}{x^{\frac{27}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{\left(120 x^{\frac{11}{2}} + \frac{225}{2}\right) \left(8 x^{\frac{11}{2}} + 6 x^{\frac{5}{2}} - 9\right)^{4}}{x^{\frac{27}{2}}}$