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Derivada de la función/ y=e^x/ acosx/ y=e^x(acosx+bsinx)

Derivada de y=e^x(acosx+bsinx)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 x                      
E *(a*cos(x) + b*sin(x))
ex(acos⁡(x)+bsin⁡(x))e^{x} \left(a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)}\right) 
E^x*(a*cos(x) + b*sin(x))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=exf{\left(x \right)} = e^{x}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Derivado exe^{x} es.

    g(x)=acos⁡(x)+bsin⁡(x)g{\left(x \right)} = a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos acos⁡(x)+bsin⁡(x)a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: −asin⁡(x)- a \sin{\left(x \right)}

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: bcos⁡(x)b \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de: −asin⁡(x)+bcos⁡(x)- a \sin{\left(x \right)} + b \cos{\left(x \right)}

    Como resultado de: (−asin⁡(x)+bcos⁡(x))ex+(acos⁡(x)+bsin⁡(x))ex\left(- a \sin{\left(x \right)} + b \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}

  2. Simplificamos:

    2(acos⁡(x+π4)+bsin⁡(x+π4))ex\sqrt{2} \left(a \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + b \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}

Respuesta:

2(acos⁡(x+π4)+bsin⁡(x+π4))ex\sqrt{2} \left(a \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + b \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}

Primera derivada [src] 
                       x                          x
(a*cos(x) + b*sin(x))*e  + (b*cos(x) - a*sin(x))*e
(−asin⁡(x)+bcos⁡(x))ex+(acos⁡(x)+bsin⁡(x))ex\left(- a \sin{\left(x \right)} + b \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                          x
-2*(a*sin(x) - b*cos(x))*e
−2(asin⁡(x)−bcos⁡(x))ex- 2 \left(a \sin{\left(x \right)} - b \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                x
-2*(a*cos(x) + a*sin(x) + b*sin(x) - b*cos(x))*e
−2(asin⁡(x)+acos⁡(x)+bsin⁡(x)−bcos⁡(x))ex- 2 \left(a \sin{\left(x \right)} + a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)} - b \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}
Simplificar
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