Derivada de y=(x+7)/(6sqrt(x^2+2x+7))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x + 7$ y $g{\left(x \right)} = 6 \sqrt{x^{2} + 2 x + 7}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x + 7$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $7$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = x^{2} + 2 x + 7$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 7\right)$:

         1. diferenciamos $x^{2} + 2 x + 7$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $7$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de: $2 x + 2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{2 x + 2}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x + 7}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{3 \left(2 x + 2\right)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 7}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{3 \left(x + 7\right) \left(2 x + 2\right)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 7}} + 6 \sqrt{x^{2} + 2 x + 7}}{36 x^{2} + 72 x + 252}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{x}{\left(x^{2} + 2 x + 7\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$- \frac{x}{\left(x^{2} + 2 x + 7\right)^{\frac{3}{2}}}$