Derivada de y=(2*(sqrt(4(x)+1)))/x^2

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 2 \sqrt{4 x + 1}$ y $g{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = 4 x + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $4 x + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $4$

            Como resultado de: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{2}{\sqrt{4 x + 1}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{4}{\sqrt{4 x + 1}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{4 x^{2}}{\sqrt{4 x + 1}} - 4 x \sqrt{4 x + 1}}{x^{4}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{12 x + 4}{x^{3} \sqrt{4 x + 1}}$

Respuesta:

$- \frac{12 x + 4}{x^{3} \sqrt{4 x + 1}}$