Derivada de (x+e^-x)/x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x e^{x} + 1$ y $g{\left(x \right)} = x e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x e^{x} + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         Como resultado de: $x e^{x} + e^{x}$

      Como resultado de: $x e^{x} + e^{x}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $x e^{x} + e^{x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(x \left(x e^{x} + e^{x}\right) e^{x} - \left(x e^{x} + 1\right) \left(x e^{x} + e^{x}\right)\right) e^{- 2 x}}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{\left(x + 1\right) e^{- x}}{x^{2}}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x + 1\right) e^{- x}}{x^{2}}$