Derivada de y=ctg(x-5x)

1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

   Method #1

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\cot{\left(- 5 x + x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(- 5 x + x \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \tan{\left(- 5 x + x \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(- 5 x + x \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(- 5 x + x \right)} = \frac{\sin{\left(- 5 x + x \right)}}{\cos{\left(- 5 x + x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(- 5 x + x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(- 5 x + x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = - 5 x + x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- 5 x + x\right)$:

            1. diferenciamos $- 5 x + x$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $-5$

               Como resultado de: $-4$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 4 \cos{\left(- 5 x + x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = - 5 x + x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- 5 x + x\right)$:

            1. diferenciamos $- 5 x + x$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $-5$

               Como resultado de: $-4$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $4 \sin{\left(- 5 x + x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- 4 \sin^{2}{\left(- 5 x + x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(- 5 x + x \right)}}{\cos^{2}{\left(- 5 x + x \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{- 4 \sin^{2}{\left(- 5 x + x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(- 5 x + x \right)}}{\cos^{2}{\left(- 5 x + x \right)} \tan^{2}{\left(- 5 x + x \right)}}$

   Method #2

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\cot{\left(- 5 x + x \right)} = \frac{\cos{\left(- 5 x + x \right)}}{\sin{\left(- 5 x + x \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(- 5 x + x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(- 5 x + x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = - 5 x + x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- 5 x + x\right)$:

         1. diferenciamos $- 5 x + x$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-5$

            Como resultado de: $-4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $4 \sin{\left(- 5 x + x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = - 5 x + x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- 5 x + x\right)$:

         1. diferenciamos $- 5 x + x$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-5$

            Como resultado de: $-4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 4 \cos{\left(- 5 x + x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{4 \sin^{2}{\left(- 5 x + x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(- 5 x + x \right)}}{\sin^{2}{\left(- 5 x + x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{4}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$