Derivada de y=1/2(tg^3sqrt(x)+ln(cos(sqrt(x))))

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. diferenciamos $\sqrt{x} \tan^{3}{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = \tan^{3}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{3 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         $g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de: $\frac{3 \sqrt{x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$

      2. Sustituimos $u = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$.

      3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$

      Como resultado de: $\frac{3 \sqrt{x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}} + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$

   Entonces, como resultado: $\frac{3 \sqrt{x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{4 \sqrt{x} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}} + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{4 \sqrt{x}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 \sqrt{x} \tan^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{4 \sqrt{x}} + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{4 \sqrt{x}}$

Respuesta:

$\frac{3 \sqrt{x} \tan^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{4 \sqrt{x}} + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{4 \sqrt{x}}$