Derivada de y=(1-cos8x)sin3x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(8 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $1 - \cos{\left(8 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 8 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 8 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $8$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 8 \sin{\left(8 x \right)}$

         Entonces, como resultado: $8 \sin{\left(8 x \right)}$

      Como resultado de: $8 \sin{\left(8 x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \cos{\left(3 x \right)}$

   Como resultado de: $3 \left(1 - \cos{\left(8 x \right)}\right) \cos{\left(3 x \right)} + 8 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(8 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 3 \left(\cos{\left(8 x \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)} + 8 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(8 x \right)}$

Respuesta:

$- 3 \left(\cos{\left(8 x \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)} + 8 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(8 x \right)}$