Derivada de y=ctgx^x4

Solución

Ha introducido [src]

   x4   
cot  (x)

$$\cot^{x_{4}}{\left(x \right)}$$

cot(x)^x4

Solución detallada

Sustituimos $u = \cot{\left(x \right)}$ .
Según el principio, aplicamos: $u^{x_{4}}$ tenemos $\frac{u^{x_{4}} x_{4}}{u}$
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}$ :
1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
  Method #1
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
  2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  Method #2
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$- \frac{x_{4} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot^{x_{4}}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$- \frac{x_{4} \left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)^{x_{4} - 1}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{x_{4} \left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)^{x_{4} - 1}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Primera derivada [src]

      x4    /        2   \
x4*cot  (x)*\-1 - cot (x)/
--------------------------
          cot(x)

$$\frac{x_{4} \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot^{x_{4}}{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

                          /           2         /       2   \\
      x4    /       2   \ |    1 + cot (x)   x4*\1 + cot (x)/|
x4*cot  (x)*\1 + cot (x)/*|2 - ----------- + ----------------|
                          |         2               2        |
                          \      cot (x)         cot (x)     /

$$x_{4} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\frac{x_{4} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + 2\right) \cot^{x_{4}}{\left(x \right)}$$

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Tercera derivada [src]

                          /                           2                                      2                                          2\
                          |              /       2   \      /       2   \     2 /       2   \         /       2   \        /       2   \ |
      x4    /       2   \ |            2*\1 + cot (x)/    4*\1 + cot (x)/   x4 *\1 + cot (x)/    6*x4*\1 + cot (x)/   3*x4*\1 + cot (x)/ |
x4*cot  (x)*\1 + cot (x)/*|-4*cot(x) - ---------------- + --------------- - ------------------ - ------------------ + -------------------|
                          |                   3                cot(x)               3                  cot(x)                  3         |
                          \                cot (x)                               cot (x)                                    cot (x)      /

$$x_{4} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \frac{x_{4}^{2} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left(x \right)}} + \frac{3 x_{4} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left(x \right)}} - \frac{6 x_{4} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} - 4 \cot{\left(x \right)}\right) \cot^{x_{4}}{\left(x \right)}$$

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Derivada de y=ctgx^x4

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2