Derivada de y=3√ctg4x^7

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Sustituimos $u = \sqrt{\cot{\left(4 x \right)}}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{7}$ tenemos $7 u^{6}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{\cot{\left(4 x \right)}}$:

      1. Sustituimos $u = \cot{\left(4 x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cot{\left(4 x \right)}$:

         1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

            Method #1

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\cot{\left(4 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(4 x \right)}}$

            2. Sustituimos $u = \tan{\left(4 x \right)}$.

            3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

            4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(4 x \right)}$:

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\tan{\left(4 x \right)} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}}$

               2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$.

                  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = 4 x$.

                  2. La derivada del seno es igual al coseno:

                     $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $4$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $4 \cos{\left(4 x \right)}$

                  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = 4 x$.

                  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                     $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $4$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

                  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                  $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)} \tan^{2}{\left(4 x \right)}}$

            Method #2

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\cot{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 4 x$.

               2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $4$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 4 x$.

               2. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $4$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $4 \cos{\left(4 x \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{- 4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(4 x \right)} \tan^{2}{\left(4 x \right)} \sqrt{\cot{\left(4 x \right)}}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{7 \left(4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cot^{\frac{5}{2}}{\left(4 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(4 x \right)} \tan^{2}{\left(4 x \right)}}$

   Entonces, como resultado: $- \frac{21 \left(4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cot^{\frac{5}{2}}{\left(4 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(4 x \right)} \tan^{2}{\left(4 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{42 \left(\frac{1}{\tan{\left(4 x \right)}}\right)^{\frac{5}{2}}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{42 \left(\frac{1}{\tan{\left(4 x \right)}}\right)^{\frac{5}{2}}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$