Derivada de x/(x^2+4x+13)^2

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 4 x + 13\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + 4 x + 13$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x + 13\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 4 x + 13$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $13$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de: $2 x + 4$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(2 x + 4\right) \left(2 x^{2} + 8 x + 26\right)$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x \left(2 x + 4\right) \left(2 x^{2} + 8 x + 26\right) + \left(x^{2} + 4 x + 13\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4 x + 13\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} - 4 x \left(x + 2\right) + 4 x + 13}{\left(x^{2} + 4 x + 13\right)^{3}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} - 4 x \left(x + 2\right) + 4 x + 13}{\left(x^{2} + 4 x + 13\right)^{3}}$