Derivada de y=(x+8)^4/(4x-1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x + 8\right)^{4}$ y $g{\left(x \right)} = 4 x - 1$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 8$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 8\right)$:

      1. diferenciamos $x + 8$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $8$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $4 \left(x + 8\right)^{3}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $4 x - 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $4$

      Como resultado de: $4$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 4 \left(x + 8\right)^{4} + 4 \left(x + 8\right)^{3} \left(4 x - 1\right)}{\left(4 x - 1\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{12 \left(x - 3\right) \left(x + 8\right)^{3}}{\left(4 x - 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{12 \left(x - 3\right) \left(x + 8\right)^{3}}{\left(4 x - 1\right)^{2}}$