Derivada de y=(x²+1)²/√5x-1

1. diferenciamos $-1 + \frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\sqrt{5 x}}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 1\right)^{2}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{5} \sqrt{x}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Como resultado de: $2 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 x \left(2 x^{2} + 2\right)$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{2 \sqrt{5} x^{\frac{3}{2}} \left(2 x^{2} + 2\right) - \frac{\sqrt{5} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x}}}{5 x}$

   2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{2 \sqrt{5} x^{\frac{3}{2}} \left(2 x^{2} + 2\right) - \frac{\sqrt{5} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x}}}{5 x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\sqrt{5} \left(x^{2} + 1\right) \left(7 x^{2} - 1\right)}{10 x^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{5} \left(x^{2} + 1\right) \left(7 x^{2} - 1\right)}{10 x^{\frac{3}{2}}}$