Sr Examen

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(x-sqrt(2x-x^2))sqrt(1+(1-x)/sqrt(2x-x^2))
Derivada de la función/ (x-sqrt(2x-x^2))sqrt(1+(1-x)/sqrt(2x-x^2))

Derivada de (x-sqrt(2x-x^2))sqrt(1+(1-x)/sqrt(2x-x^2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
/       __________\       ___________________
|      /        2 |      /         1 - x     
\x - \/  2*x - x  /*    /  1 + ------------- 
                       /          __________ 
                      /          /        2  
                    \/         \/  2*x - x
(x−−x2+2x)1−x−x2+2x+1\left(x - \sqrt{- x^{2} + 2 x}\right) \sqrt{\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1} 
(x - sqrt(2*x - x^2))*sqrt(1 + (1 - x)/sqrt(2*x - x^2))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=x−−x2+2xf{\left(x \right)} = x - \sqrt{- x^{2} + 2 x}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos x−−x2+2xx - \sqrt{- x^{2} + 2 x} miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=−x2+2xu = - x^{2} + 2 x.

        2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(−x2+2x)\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 2 x\right):

          1. diferenciamos −x2+2x- x^{2} + 2 x miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 22

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

              Entonces, como resultado: −2x- 2 x

            Como resultado de: 2−2x2 - 2 x

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2−2x2−x2+2x\frac{2 - 2 x}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}}

        Entonces, como resultado: −2−2x2−x2+2x- \frac{2 - 2 x}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}}

      Como resultado de: −2−2x2−x2+2x+1- \frac{2 - 2 x}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1

    g(x)=1−x−x2+2x+1g{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=1−x−x2+2x+1u = \frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(1−x−x2+2x+1)\frac{d}{d x} \left(\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1\right):

      1. diferenciamos 1−x−x2+2x+1\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=1−xf{\left(x \right)} = 1 - x y g(x)=−x2+2xg{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + 2 x}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. diferenciamos 1−x1 - x miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: −1-1

            Como resultado de: −1-1

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=−x2+2xu = - x^{2} + 2 x.

          2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(−x2+2x)\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 2 x\right):

            1. diferenciamos −x2+2x- x^{2} + 2 x miembro por miembro:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

                Entonces, como resultado: −2x- 2 x

              2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 22

              Como resultado de: 2−2x2 - 2 x

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            2−2x2−x2+2x\frac{2 - 2 x}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −(1−x)(2−2x)2−x2+2x−−x2+2x−x2+2x\frac{- \frac{\left(1 - x\right) \left(2 - 2 x\right)}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}} - \sqrt{- x^{2} + 2 x}}{- x^{2} + 2 x}

        Como resultado de: −(1−x)(2−2x)2−x2+2x−−x2+2x−x2+2x\frac{- \frac{\left(1 - x\right) \left(2 - 2 x\right)}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}} - \sqrt{- x^{2} + 2 x}}{- x^{2} + 2 x}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −(1−x)(2−2x)2−x2+2x−−x2+2x2(−x2+2x)1−x−x2+2x+1\frac{- \frac{\left(1 - x\right) \left(2 - 2 x\right)}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}} - \sqrt{- x^{2} + 2 x}}{2 \left(- x^{2} + 2 x\right) \sqrt{\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1}}

    Como resultado de: (x−−x2+2x)(−(1−x)(2−2x)2−x2+2x−−x2+2x)2(−x2+2x)1−x−x2+2x+1+1−x−x2+2x+1(−2−2x2−x2+2x+1)\frac{\left(x - \sqrt{- x^{2} + 2 x}\right) \left(- \frac{\left(1 - x\right) \left(2 - 2 x\right)}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}} - \sqrt{- x^{2} + 2 x}\right)}{2 \left(- x^{2} + 2 x\right) \sqrt{\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1}} + \sqrt{\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1} \left(- \frac{2 - 2 x}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1\right)

  2. Simplificamos:

    4x3−16x2+17x−x(2−x)−22x−x+x(2−x)+1x(2−x)(x2−4x+4)\frac{4 x^{3} - 16 x^{2} + 17 x - \sqrt{x \left(2 - x\right)} - 2}{2 x \sqrt{\frac{- x + \sqrt{x \left(2 - x\right)} + 1}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}}} \left(x^{2} - 4 x + 4\right)}

Respuesta:

4x3−16x2+17x−x(2−x)−22x−x+x(2−x)+1x(2−x)(x2−4x+4)\frac{4 x^{3} - 16 x^{2} + 17 x - \sqrt{x \left(2 - x\right)} - 2}{2 x \sqrt{\frac{- x + \sqrt{x \left(2 - x\right)} + 1}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}}} \left(x^{2} - 4 x + 4\right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10102-2
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                                                /       __________\ /                               2   \
                                                |      /        2 | |         1              (1 - x)    |
                                                \x - \/  2*x - x  /*|- --------------- - ---------------|
                                                                    |       __________               3/2|
      ___________________                                           |      /        2      /       2\   |
     /         1 - x      /        1 - x    \                       \  2*\/  2*x - x     2*\2*x - x /   /
    /  1 + ------------- *|1 - -------------| + ---------------------------------------------------------
   /          __________  |       __________|                         ___________________                
  /          /        2   |      /        2 |                        /         1 - x                     
\/         \/  2*x - x    \    \/  2*x - x  /                       /  1 + -------------                 
                                                                   /          __________                 
                                                                  /          /        2                  
                                                                \/         \/  2*x - x
(x−−x2+2x)(−(1−x)22(−x2+2x)32−12−x2+2x)1−x−x2+2x+1+(−1−x−x2+2x+1)1−x−x2+2x+1\frac{\left(x - \sqrt{- x^{2} + 2 x}\right) \left(- \frac{\left(1 - x\right)^{2}}{2 \left(- x^{2} + 2 x\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}}\right)}{\sqrt{\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1}} + \left(- \frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1\right) \sqrt{\frac{1 - x}{\sqrt{- x^{2} + 2 x}} + 1}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                                                                                          /                                        2          \
                                                                                                                          |                                (-1 + x)           |
                                                                                     /            2 \                     |                            1 - ----------         |
                                                                                     |    (-1 + x)  | /      ___________\ |   6*(-1 + x)                   x*(-2 + x)         |
     ___________________ /            2 \                        /            2\     |1 - ----------|*\x - \/ x*(2 - x) /*|---------------- - --------------------------------|
    /         -1 + x     |    (-1 + x)  |    /        -1 + x   \ |    (-1 + x) |     \    x*(-2 + x)/                     |             3/2     /         -1 + x    \         |
   /  1 - ------------- *|1 - ----------|    |1 + -------------|*|1 + ---------|                                          |(-x*(-2 + x))      x*|1 - ---------------|*(-2 + x)|
  /         ___________  \    x*(-2 + x)/    |      ___________| \    x*(2 - x)/                                          |                     |      _____________|         |
\/        \/ x*(2 - x)                       \    \/ x*(2 - x) /                                                          \                     \    \/ -x*(-2 + x) /         /
----------------------------------------- - -------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------
               _____________                                   ___________________                                         _____________________                               
             \/ -x*(-2 + x)                   ___________     /         -1 + x                                            /          -1 + x                                    
                                            \/ x*(2 - x) *   /  1 - -------------                                   4*   /  1 - ---------------                                
                                                            /         ___________                                       /         _____________                                
                                                          \/        \/ x*(2 - x)                                      \/        \/ -x*(-2 + x)
−(1−(x−1)2x(x−2))(x−x(2−x))(6(x−1)(−x(x−2))32−1−(x−1)2x(x−2)x(1−x−1−x(x−2))(x−2))41−x−1−x(x−2)+1−x−1x(2−x)(1−(x−1)2x(x−2))−x(x−2)−(1+x−1x(2−x))(1+(x−1)2x(2−x))x(2−x)1−x−1x(2−x)- \frac{\left(1 - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x - \sqrt{x \left(2 - x\right)}\right) \left(\frac{6 \left(x - 1\right)}{\left(- x \left(x - 2\right)\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1 - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}}{x \left(1 - \frac{x - 1}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}\right) \left(x - 2\right)}\right)}{4 \sqrt{1 - \frac{x - 1}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}}} + \frac{\sqrt{1 - \frac{x - 1}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}}} \left(1 - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right)}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}} - \frac{\left(1 + \frac{x - 1}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}}\right) \left(1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(2 - x\right)}\right)}{\sqrt{x \left(2 - x\right)} \sqrt{1 - \frac{x - 1}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                      /  /              2             4 \                              3                                   2            \                                                                                                                                                                                                             \
  |                      |  |    6*(-1 + x)    5*(-1 + x)  |              /            2 \                    /            2 \             |                                                                                                                                                                                                             |
  |                      |4*|1 - ----------- + ------------|              |    (-1 + x)  |                    |    (-1 + x)  |             |                                                                                             /                                        2          \                                                           |
  |                      |  |     x*(-2 + x)    2         2|              |1 - ----------|                  6*|1 - ----------| *(-1 + x)   |                                                                                             |                                (-1 + x)           |                                                           |
  |  /      ___________\ |  \                  x *(-2 + x) /              \    x*(-2 + x)/                    \    x*(-2 + x)/             |                                                                            /            2 \ |                            1 - ----------         |                                                           |
  |  \x - \/ x*(2 - x) /*|---------------------------------- + --------------------------------------- + ----------------------------------|                                                        /        -1 + x   \ |    (-1 + x)  | |   6*(-1 + x)                   x*(-2 + x)         |                                                           |
  |                      |                      3/2                                                  2    2 /         -1 + x    \         2|        ___________________ /            2 \            |1 + -------------|*|1 - ----------|*|---------------- - --------------------------------|                                                           |
  |                      |         (-x*(-2 + x))                            3/2 /         -1 + x    \    x *|1 - ---------------|*(-2 + x) |       /         -1 + x     |    (-1 + x)  |            |      ___________| \    x*(-2 + x)/ |             3/2     /         -1 + x    \         |               /            2\ /            2 \            |
  |                      |                                     (-x*(-2 + x))   *|1 - ---------------|       |      _____________|          |      /  1 - ------------- *|1 - ----------|*(-1 + x)   \    \/ x*(2 - x) /                  |(-x*(-2 + x))      x*|1 - ---------------|*(-2 + x)|               |    (-1 + x) | |    (-1 + x)  |            |
  |                      |                                                      |      _____________|       \    \/ -x*(-2 + x) /          |     /         ___________  \    x*(-2 + x)/                                                 |                     |      _____________|         |               |1 + ---------|*|1 - ----------|            |
  |                      \                                                      \    \/ -x*(-2 + x) /                                      /   \/        \/ x*(2 - x)                                                                    \                     \    \/ -x*(-2 + x) /         /               \    x*(2 - x)/ \    x*(-2 + x)/            |
3*|- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------ - --------------------------------------------------------|
  |                                                               _____________________                                                                                      3/2                                                          _____________________                                                                       ___________________|
  |                                                              /          -1 + x                                                                              (-x*(-2 + x))                                                            /          -1 + x                                           ___________   _____________     /         -1 + x    |
  |                                                        8*   /  1 - ---------------                                                                                                                                             4*   /  1 - ---------------                                   2*\/ x*(2 - x) *\/ -x*(-2 + x) *   /  1 - ------------- |
  |                                                            /         _____________                                                                                                                                                 /         _____________                                                                     /         ___________ |
  \                                                          \/        \/ -x*(-2 + x)                                                                                                                                                \/        \/ -x*(-2 + x)                                                                    \/        \/ x*(2 - x)  /
3(−(1+x−1x(2−x))(1−(x−1)2x(x−2))(6(x−1)(−x(x−2))32−1−(x−1)2x(x−2)x(1−x−1−x(x−2))(x−2))41−x−1−x(x−2)−(x−x(2−x))(4(1−6(x−1)2x(x−2)+5(x−1)4x2(x−2)2)(−x(x−2))32+(1−(x−1)2x(x−2))3(−x(x−2))32(1−x−1−x(x−2))2+6(1−(x−1)2x(x−2))2(x−1)x2(1−x−1−x(x−2))(x−2)2)81−x−1−x(x−2)+1−x−1x(2−x)(1−(x−1)2x(x−2))(x−1)(−x(x−2))32−(1+(x−1)2x(2−x))(1−(x−1)2x(x−2))2x(2−x)−x(x−2)1−x−1x(2−x))3 \left(- \frac{\left(1 + \frac{x - 1}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}}\right) \left(1 - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(\frac{6 \left(x - 1\right)}{\left(- x \left(x - 2\right)\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1 - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}}{x \left(1 - \frac{x - 1}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}\right) \left(x - 2\right)}\right)}{4 \sqrt{1 - \frac{x - 1}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}}} - \frac{\left(x - \sqrt{x \left(2 - x\right)}\right) \left(\frac{4 \left(1 - \frac{6 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)} + \frac{5 \left(x - 1\right)^{4}}{x^{2} \left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(- x \left(x - 2\right)\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\left(1 - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right)^{3}}{\left(- x \left(x - 2\right)\right)^{\frac{3}{2}} \left(1 - \frac{x - 1}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}\right)^{2}} + \frac{6 \left(1 - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right)^{2} \left(x - 1\right)}{x^{2} \left(1 - \frac{x - 1}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}\right) \left(x - 2\right)^{2}}\right)}{8 \sqrt{1 - \frac{x - 1}{\sqrt{- x \left(x - 2\right)}}}} + \frac{\sqrt{1 - \frac{x - 1}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}}} \left(1 - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x - 1\right)}{\left(- x \left(x - 2\right)\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\left(1 + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(2 - x\right)}\right) \left(1 - \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right)}{2 \sqrt{x \left(2 - x\right)} \sqrt{- x \left(x - 2\right)} \sqrt{1 - \frac{x - 1}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}}}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de (x-sqrt(2x-x^2))sqrt(1+(1-x)/sqrt(2x-x^2))
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