Sr Examen

Derivada de cscxcotx

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
csc(x)*cot(x)
cot(x)csc(x)\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}
csc(x)*cot(x)
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=csc(x)f{\left(x \right)} = \csc{\left(x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      csc(x)=1sin(x)\csc{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

    2. Sustituimos u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

    3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      cos(x)sin2(x)- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    g(x)=cot(x)g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot(x)=1tan(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

      2. Sustituimos u=tan(x)u = \tan{\left(x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          sin2(x)+cos2(x)cos2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        sin2(x)+cos2(x)cos2(x)tan2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot(x)=cos(x)sin(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin2(x)cos2(x)sin2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: (sin2(x)+cos2(x))csc(x)cos2(x)tan2(x)cos(x)cot(x)sin2(x)- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \csc{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    1sin(x)2sin3(x)\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2}{\sin^{3}{\left(x \right)}}


Respuesta:

1sin(x)2sin3(x)\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
Primera derivada [src]
/        2   \             2          
\-1 - cot (x)/*csc(x) - cot (x)*csc(x)
(cot2(x)1)csc(x)cot2(x)csc(x)\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \csc{\left(x \right)} - \cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}
Segunda derivada [src]
/         2   \              
\5 + 6*cot (x)/*cot(x)*csc(x)
(6cot2(x)+5)cot(x)csc(x)\left(6 \cot^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}
Tercera derivada [src]
 /   2    /         2   \     /       2   \ /         2   \     /       2   \ /         2   \        2    /       2   \\       
-\cot (x)*\5 + 6*cot (x)/ + 2*\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/ + 3*\1 + cot (x)/*\1 + 2*cot (x)/ + 6*cot (x)*\1 + cot (x)//*csc(x)
(3(cot2(x)+1)(2cot2(x)+1)+2(cot2(x)+1)(3cot2(x)+1)+6(cot2(x)+1)cot2(x)+(6cot2(x)+5)cot2(x))csc(x)- \left(3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + \left(6 \cot^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \cot^{2}{\left(x \right)}\right) \csc{\left(x \right)}
Gráfico
Derivada de cscxcotx