Sr Examen

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(z-1)/((z+2i)((z^2)+4))
Derivada de la función/ (z-1)/((z+2i)((z^2)+4))

Derivada de (z-1)/((z+2i)((z^2)+4))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      z - 1       
------------------
          / 2    \
(z + 2*I)*\z  + 4/
z−1(z+2i)(z2+4)\frac{z - 1}{\left(z + 2 i\right) \left(z^{2} + 4\right)} 
(z - 1)/(((z + 2*i)*(z^2 + 4)))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddzf(z)g(z)=−f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)g2(z)\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}

    f(z)=z−1f{\left(z \right)} = z - 1 y g(z)=(z+2i)(z2+4)g{\left(z \right)} = \left(z + 2 i\right) \left(z^{2} + 4\right).

    Para calcular ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

    1. diferenciamos z−1z - 1 miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

      Como resultado de: 11

    Para calcular ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddzf(z)g(z)=f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}

      f(z)=z2+4f{\left(z \right)} = z^{2} + 4; calculamos ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

      1. diferenciamos z2+4z^{2} + 4 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 44 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: z2z^{2} tenemos 2z2 z

        Como resultado de: 2z2 z

      g(z)=z+2ig{\left(z \right)} = z + 2 i; calculamos ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

      1. diferenciamos z+2iz + 2 i miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        2. La derivada de una constante 2i2 i es igual a cero.

        Como resultado de: 11

      Como resultado de: z2+2z(z+2i)+4z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −(z−1)(z2+2z(z+2i)+4)+(z+2i)(z2+4)(z+2i)2(z2+4)2\frac{- \left(z - 1\right) \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right) + \left(z + 2 i\right) \left(z^{2} + 4\right)}{\left(z + 2 i\right)^{2} \left(z^{2} + 4\right)^{2}}

Respuesta:

−(z−1)(z2+2z(z+2i)+4)+(z+2i)(z2+4)(z+2i)2(z2+4)2\frac{- \left(z - 1\right) \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right) + \left(z + 2 i\right) \left(z^{2} + 4\right)}{\left(z + 2 i\right)^{2} \left(z^{2} + 4\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                             /      2                \
        1            (z - 1)*\-4 - z  - 2*z*(z + 2*I)/
------------------ + ---------------------------------
          / 2    \                             2      
(z + 2*I)*\z  + 4/                   2 / 2    \       
                            (z + 2*I) *\z  + 4/
(z−1)(−z2−2z(z+2i)−4)(z+2i)2(z2+4)2+1(z+2i)(z2+4)\frac{\left(z - 1\right) \left(- z^{2} - 2 z \left(z + 2 i\right) - 4\right)}{\left(z + 2 i\right)^{2} \left(z^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{1}{\left(z + 2 i\right) \left(z^{2} + 4\right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                     /                  2                                                                     /     2                \\                
        2            |             4 + z  + 2*z*(z + 2*I)   /   1       2*z  \ /     2                \   2*z*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/|                
-8 - 2*z  + (-1 + z)*|-6*z - 4*I + ---------------------- + |------- + ------|*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/ + ----------------------------| - 4*z*(z + 2*I)
                     |                    z + 2*I           |z + 2*I        2|                                            2           |                
                     \                                      \          4 + z /                                       4 + z            /                
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                          2                                                                            
                                                                  /     2\           2                                                                 
                                                                  \4 + z / *(z + 2*I)
−2z2−4z(z+2i)+(z−1)(−6z+2z(z2+2z(z+2i)+4)z2+4+(2zz2+4+1z+2i)(z2+2z(z+2i)+4)−4i+z2+2z(z+2i)+4z+2i)−8(z+2i)2(z2+4)2\frac{- 2 z^{2} - 4 z \left(z + 2 i\right) + \left(z - 1\right) \left(- 6 z + \frac{2 z \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right)}{z^{2} + 4} + \left(\frac{2 z}{z^{2} + 4} + \frac{1}{z + 2 i}\right) \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right) - 4 i + \frac{z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4}{z + 2 i}\right) - 8}{\left(z + 2 i\right)^{2} \left(z^{2} + 4\right)^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                        /                                                                                                                                                                                                     /   1       2*z  \ /     2                \                                                           /   1       2*z  \ /     2                \                               \                                                                                                            
                        |                                                                                                                                                                                                     |------- + ------|*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/                                                       2*z*|------- + ------|*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/                               |                                                                                                            
                        |                      /     2                \                                                                 /                            2                       \     /     2                \   |z + 2*I        2|                                                   2 /     2                \       |z + 2*I        2|                                /     2                \|     /     2                \                                                       /     2                \
                        |    6*(2*I + 3*z)   2*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/     /   1       2*z  \                 /     2                \ |    1          1         4*z             2*z        |   3*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/   \          4 + z /                            12*z*(2*I + 3*z)   12*z *\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/       \          4 + z /                            8*z*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/|   3*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/     /   1       2*z  \ /     2                \   6*z*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/
-18*z - 12*I - (-1 + z)*|6 - ------------- - -------------------------- - 2*|------- + ------|*(2*I + 3*z) + 2*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/*|---------- - ------ + --------- + ------------------| + -------------------------- + ------------------------------------------- - ---------------- + ------------------------------ + ----------------------------------------------- + ----------------------------| + -------------------------- + 3*|------- + ------|*\4 + z  + 2*z*(z + 2*I)/ + ----------------------------
                        |       z + 2*I                     2               |z + 2*I        2|                                          |         2        2           2   /     2\          |                    2                             z + 2*I                               2                          2                                        2                            /     2\               |            z + 2*I               |z + 2*I        2|                                            2           
                        |                              4 + z                \          4 + z /                                          |(z + 2*I)    4 + z    /     2\    \4 + z /*(z + 2*I)|           (z + 2*I)                                                               4 + z                   /     2\                                    4 + z                             \4 + z /*(z + 2*I)     |                                  \          4 + z /                                       4 + z            
                        \                                                                                                               \                      \4 + z /                      /                                                                                                           \4 + z /                                                                                             /                                                                                                            
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                                            2                                                                                                                                                                                                                                                              
                                                                                                                                                                                                                                                    /     2\           2                                                                                                                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                                                                                    \4 + z / *(z + 2*I)
−18z+6z(z2+2z(z+2i)+4)z2+4−(z−1)(12z2(z2+2z(z+2i)+4)(z2+4)2−12z(3z+2i)z2+4+2z(2zz2+4+1z+2i)(z2+2z(z+2i)+4)z2+4+8z(z2+2z(z+2i)+4)(z+2i)(z2+4)−2(3z+2i)(2zz2+4+1z+2i)+2(z2+2z(z+2i)+4)(4z2(z2+4)2+2z(z+2i)(z2+4)−1z2+4+1(z+2i)2)+6−2(z2+2z(z+2i)+4)z2+4−6(3z+2i)z+2i+(2zz2+4+1z+2i)(z2+2z(z+2i)+4)z+2i+3(z2+2z(z+2i)+4)(z+2i)2)+3(2zz2+4+1z+2i)(z2+2z(z+2i)+4)−12i+3(z2+2z(z+2i)+4)z+2i(z+2i)2(z2+4)2\frac{- 18 z + \frac{6 z \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right)}{z^{2} + 4} - \left(z - 1\right) \left(\frac{12 z^{2} \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right)}{\left(z^{2} + 4\right)^{2}} - \frac{12 z \left(3 z + 2 i\right)}{z^{2} + 4} + \frac{2 z \left(\frac{2 z}{z^{2} + 4} + \frac{1}{z + 2 i}\right) \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right)}{z^{2} + 4} + \frac{8 z \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right)}{\left(z + 2 i\right) \left(z^{2} + 4\right)} - 2 \left(3 z + 2 i\right) \left(\frac{2 z}{z^{2} + 4} + \frac{1}{z + 2 i}\right) + 2 \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right) \left(\frac{4 z^{2}}{\left(z^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{2 z}{\left(z + 2 i\right) \left(z^{2} + 4\right)} - \frac{1}{z^{2} + 4} + \frac{1}{\left(z + 2 i\right)^{2}}\right) + 6 - \frac{2 \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right)}{z^{2} + 4} - \frac{6 \left(3 z + 2 i\right)}{z + 2 i} + \frac{\left(\frac{2 z}{z^{2} + 4} + \frac{1}{z + 2 i}\right) \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right)}{z + 2 i} + \frac{3 \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right)}{\left(z + 2 i\right)^{2}}\right) + 3 \left(\frac{2 z}{z^{2} + 4} + \frac{1}{z + 2 i}\right) \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right) - 12 i + \frac{3 \left(z^{2} + 2 z \left(z + 2 i\right) + 4\right)}{z + 2 i}}{\left(z + 2 i\right)^{2} \left(z^{2} + 4\right)^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de (z-1)/((z+2i)((z^2)+4))
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