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z/(z-2i)/(z-i)^2
Derivada de la función/ (z-i)/ z/(z-2i)/(z-i)^2

Derivada de z/(z-2i)/(z-i)^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
/   z   \
|-------|
\z - 2*I/
---------
        2
 (z - I)
z1z−2i(z−i)2\frac{z \frac{1}{z - 2 i}}{\left(z - i\right)^{2}} 
(z/(z - 2*i))/(z - i)^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddzf(z)g(z)=−f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)g2(z)\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}

    f(z)=zf{\left(z \right)} = z y g(z)=(z−2i)(z−i)2g{\left(z \right)} = \left(z - 2 i\right) \left(z - i\right)^{2}.

    Para calcular ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

    Para calcular ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddzf(z)g(z)=f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}

      f(z)=(z−i)2f{\left(z \right)} = \left(z - i\right)^{2}; calculamos ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

      1. Sustituimos u=z−iu = z - i.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddz(z−i)\frac{d}{d z} \left(z - i\right):

        1. diferenciamos z−iz - i miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

          2. La derivada de una constante −i- i es igual a cero.

          Como resultado de: 11

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2z−2i2 z - 2 i

      g(z)=z−2ig{\left(z \right)} = z - 2 i; calculamos ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

      1. diferenciamos z−2iz - 2 i miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        2. La derivada de una constante −2i- 2 i es igual a cero.

        Como resultado de: 11

      Como resultado de: (z−2i)(2z−2i)+(z−i)2\left(z - 2 i\right) \left(2 z - 2 i\right) + \left(z - i\right)^{2}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −z((z−2i)(2z−2i)+(z−i)2)+(z−2i)(z−i)2(z−2i)2(z−i)4\frac{- z \left(\left(z - 2 i\right) \left(2 z - 2 i\right) + \left(z - i\right)^{2}\right) + \left(z - 2 i\right) \left(z - i\right)^{2}}{\left(z - 2 i\right)^{2} \left(z - i\right)^{4}}

  2. Simplificamos:

    −z(3z−5i)+(z−2i)(z−i)(z−2i)2(z−i)3\frac{- z \left(3 z - 5 i\right) + \left(z - 2 i\right) \left(z - i\right)}{\left(z - 2 i\right)^{2} \left(z - i\right)^{3}}

Respuesta:

−z(3z−5i)+(z−2i)(z−i)(z−2i)2(z−i)3\frac{- z \left(3 z - 5 i\right) + \left(z - 2 i\right) \left(z - i\right)}{\left(z - 2 i\right)^{2} \left(z - i\right)^{3}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
   1          z                          
------- - ----------                     
z - 2*I            2                     
          (z - 2*I)      z*(-2*z + 2*I)  
-------------------- + ------------------
             2                4          
      (z - I)          (z - I) *(z - 2*I)
z(−2z+2i)(z−2i)(z−i)4+−z(z−2i)2+1z−2i(z−i)2\frac{z \left(- 2 z + 2 i\right)}{\left(z - 2 i\right) \left(z - i\right)^{4}} + \frac{- \frac{z}{\left(z - 2 i\right)^{2}} + \frac{1}{z - 2 i}}{\left(z - i\right)^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /        z        /        z   \           \
  |-1 + -------   2*|-1 + -------|           |
  |     z - 2*I     \     z - 2*I/     3*z   |
2*|------------ + ---------------- + --------|
  |  z - 2*I           z - I                2|
  \                                  (z - I) /
----------------------------------------------
                     2                        
              (z - I) *(z - 2*I)
2(3z(z−i)2+2(zz−2i−1)z−i+zz−2i−1z−2i)(z−2i)(z−i)2\frac{2 \left(\frac{3 z}{\left(z - i\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{z}{z - 2 i} - 1\right)}{z - i} + \frac{\frac{z}{z - 2 i} - 1}{z - 2 i}\right)}{\left(z - 2 i\right) \left(z - i\right)^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
   /        z        /        z   \                 /        z   \\
   |-1 + -------   3*|-1 + -------|               2*|-1 + -------||
   |     z - 2*I     \     z - 2*I/     4*z         \     z - 2*I/|
-6*|------------ + ---------------- + -------- + -----------------|
   |          2               2              3   (z - I)*(z - 2*I)|
   \ (z - 2*I)         (z - I)        (z - I)                     /
-------------------------------------------------------------------
                                2                                  
                         (z - I) *(z - 2*I)
−6(4z(z−i)3+3(zz−2i−1)(z−i)2+2(zz−2i−1)(z−2i)(z−i)+zz−2i−1(z−2i)2)(z−2i)(z−i)2- \frac{6 \left(\frac{4 z}{\left(z - i\right)^{3}} + \frac{3 \left(\frac{z}{z - 2 i} - 1\right)}{\left(z - i\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{z}{z - 2 i} - 1\right)}{\left(z - 2 i\right) \left(z - i\right)} + \frac{\frac{z}{z - 2 i} - 1}{\left(z - 2 i\right)^{2}}\right)}{\left(z - 2 i\right) \left(z - i\right)^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de z/(z-2i)/(z-i)^2
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