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y=ln(1+sinx/1+sinx+cos×)
Derivada de la función/ 1+sinx/ y=ln(1+sinx/1+sinx+cos×)

Derivada de y=ln(1+sinx/1+sinx+cos×)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /    sin(x)                  \
log|1 + ------ + sin(x) + cos(x)|
   \      1                     /
log⁡(((sin⁡(x)1+1)+sin⁡(x))+cos⁡(x))\log{\left(\left(\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}\right) + \cos{\left(x \right)} \right)} 
log(1 + sin(x)/1 + sin(x) + cos(x))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=((sin⁡(x)1+1)+sin⁡(x))+cos⁡(x)u = \left(\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}\right) + \cos{\left(x \right)}.

  2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(((sin⁡(x)1+1)+sin⁡(x))+cos⁡(x))\frac{d}{d x} \left(\left(\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}\right) + \cos{\left(x \right)}\right):

    1. diferenciamos ((sin⁡(x)1+1)+sin⁡(x))+cos⁡(x)\left(\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}\right) + \cos{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. diferenciamos (sin⁡(x)1+1)+sin⁡(x)\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + 1\right) + \sin{\left(x \right)} miembro por miembro:

        1. diferenciamos sin⁡(x)1+1\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Entonces, como resultado: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

          Como resultado de: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Como resultado de: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

      Como resultado de: −sin⁡(x)+2cos⁡(x)- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    −sin⁡(x)+2cos⁡(x)((sin⁡(x)1+1)+sin⁡(x))+cos⁡(x)\frac{- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{\left(\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}\right) + \cos{\left(x \right)}}

  4. Simplificamos:

    −sin⁡(x)+2cos⁡(x)2sin⁡(x)+cos⁡(x)+1\frac{- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1}

Respuesta:

−sin⁡(x)+2cos⁡(x)2sin⁡(x)+cos⁡(x)+1\frac{- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-500500
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
     -sin(x) + 2*cos(x)     
----------------------------
    sin(x)                  
1 + ------ + sin(x) + cos(x)
      1
−sin⁡(x)+2cos⁡(x)((sin⁡(x)1+1)+sin⁡(x))+cos⁡(x)\frac{- \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{\left(\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}\right) + \cos{\left(x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
 /                               2         \ 
 |           (-2*cos(x) + sin(x))          | 
-|2*sin(x) + --------------------- + cos(x)| 
 \           1 + 2*sin(x) + cos(x)         / 
---------------------------------------------
            1 + 2*sin(x) + cos(x)
−(sin⁡(x)−2cos⁡(x))22sin⁡(x)+cos⁡(x)+1+2sin⁡(x)+cos⁡(x)2sin⁡(x)+cos⁡(x)+1- \frac{\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                     /                                                  2 \
                     |    3*(2*sin(x) + cos(x))   2*(-2*cos(x) + sin(x))  |
(-2*cos(x) + sin(x))*|1 - --------------------- - ------------------------|
                     |    1 + 2*sin(x) + cos(x)                          2|
                     \                            (1 + 2*sin(x) + cos(x)) /
---------------------------------------------------------------------------
                           1 + 2*sin(x) + cos(x)
(sin⁡(x)−2cos⁡(x))(−2(sin⁡(x)−2cos⁡(x))2(2sin⁡(x)+cos⁡(x)+1)2−3(2sin⁡(x)+cos⁡(x))2sin⁡(x)+cos⁡(x)+1+1)2sin⁡(x)+cos⁡(x)+1\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} - \frac{3 \left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + 1\right)}{2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ln(1+sinx/1+sinx+cos×)
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