Derivada de y=x^-1/(sqrt(x^4+1))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ y $g{\left(x \right)} = x \sqrt{x^{4} + 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{4} + 1}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x^{4} + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x^{4} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

            Como resultado de: $4 x^{3}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

      Como resultado de: $\frac{2 x^{4}}{\sqrt{x^{4} + 1}} + \sqrt{x^{4} + 1}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{2 x^{4}}{\sqrt{x^{4} + 1}} - \sqrt{x^{4} + 1}}{x^{2} \left(x^{4} + 1\right)}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{3 x^{4} + 1}{x^{2} \left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$- \frac{3 x^{4} + 1}{x^{2} \left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$