Derivada de y=(x+4)^8(2x+3)^6

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x + 4\right)^{8}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 4$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{8}$ tenemos $8 u^{7}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 4\right)$:

      1. diferenciamos $x + 4$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $8 \left(x + 4\right)^{7}$

   $g{\left(x \right)} = \left(2 x + 3\right)^{6}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x + 3$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{6}$ tenemos $6 u^{5}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + 3\right)$:

      1. diferenciamos $2 x + 3$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

         Como resultado de: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $12 \left(2 x + 3\right)^{5}$

   Como resultado de: $12 \left(x + 4\right)^{8} \left(2 x + 3\right)^{5} + 8 \left(x + 4\right)^{7} \left(2 x + 3\right)^{6}$

2. Simplificamos:

   $\left(x + 4\right)^{7} \left(2 x + 3\right)^{5} \left(28 x + 72\right)$

Respuesta:

$\left(x + 4\right)^{7} \left(2 x + 3\right)^{5} \left(28 x + 72\right)$