Derivada de x*(x-pi/2)*(pi-x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(\pi - x\right) \left(2 x - \pi\right)$ y $g{\left(x \right)} = 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \pi - x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $\pi - x$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $\pi$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de: $-1$

      $h{\left(x \right)} = 2 x - \pi$; calculamos $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $2 x - \pi$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $- \pi$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de: $2$

      Como resultado de: $2 x \left(\pi - x\right) - x \left(2 x - \pi\right) + \left(\pi - x\right) \left(2 x - \pi\right)$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $x \left(\pi - x\right) - \frac{x \left(2 x - \pi\right)}{2} + \frac{\left(\pi - x\right) \left(2 x - \pi\right)}{2}$

2. Simplificamos:

   $- 3 x^{2} + 3 \pi x - \frac{\pi^{2}}{2}$

Respuesta:

$- 3 x^{2} + 3 \pi x - \frac{\pi^{2}}{2}$