Derivada de y=3x^9·ctg8x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 3 x^{9}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{9}$ tenemos $9 x^{8}$

      Entonces, como resultado: $27 x^{8}$

   $g{\left(x \right)} = \cot{\left(8 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(8 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(8 x \right)}}$

      2. Sustituimos $u = \tan{\left(8 x \right)}$.

      3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(8 x \right)}$:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(8 x \right)} = \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{\cos{\left(8 x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(8 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(8 x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 8 x$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 8 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $8$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $8 \cos{\left(8 x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 8 x$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 8 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $8$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 8 \sin{\left(8 x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{8 \sin^{2}{\left(8 x \right)} + 8 \cos^{2}{\left(8 x \right)}}{\cos^{2}{\left(8 x \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{8 \sin^{2}{\left(8 x \right)} + 8 \cos^{2}{\left(8 x \right)}}{\cos^{2}{\left(8 x \right)} \tan^{2}{\left(8 x \right)}}$

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(8 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{\sin{\left(8 x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(8 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(8 x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 8 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 8 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $8$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 8 \sin{\left(8 x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 8 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 8 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $8$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $8 \cos{\left(8 x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- 8 \sin^{2}{\left(8 x \right)} - 8 \cos^{2}{\left(8 x \right)}}{\sin^{2}{\left(8 x \right)}}$

   Como resultado de: $- \frac{3 x^{9} \left(8 \sin^{2}{\left(8 x \right)} + 8 \cos^{2}{\left(8 x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(8 x \right)} \tan^{2}{\left(8 x \right)}} + 27 x^{8} \cot{\left(8 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{24 x^{9}}{\sin^{2}{\left(8 x \right)}} + 27 x^{8} \cot{\left(8 x \right)}$

Respuesta:

$- \frac{24 x^{9}}{\sin^{2}{\left(8 x \right)}} + 27 x^{8} \cot{\left(8 x \right)}$