Derivada de y=(lnsin3x)/lnsinx

Solución

Ha introducido [src]

log(sin(3*x))
-------------
 log(sin(x))

$$\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$$

log(sin(3*x))/log(sin(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \sin{\left(3 x \right)}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = 3 x$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $3$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $3 \cos{\left(3 x \right)}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\frac{3 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} - \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{\frac{3}{\tan{\left(3 x \right)}} - \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\frac{3}{\tan{\left(3 x \right)}} - \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

     3*cos(3*x)        cos(x)*log(sin(3*x))
-------------------- - --------------------
log(sin(x))*sin(3*x)      2                
                       log (sin(x))*sin(x)

$$\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(3 x \right)}} - \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

                   /       2                2        \                                            
                   |    cos (x)        2*cos (x)     |                                            
                   |1 + ------- + -------------------|*log(sin(3*x))                              
          2        |       2                     2   |                                            
     9*cos (3*x)   \    sin (x)   log(sin(x))*sin (x)/                      6*cos(x)*cos(3*x)     
-9 - ----------- + ------------------------------------------------- - ---------------------------
         2                            log(sin(x))                      log(sin(x))*sin(x)*sin(3*x)
      sin (3*x)                                                                                   
--------------------------------------------------------------------------------------------------
                                           log(sin(x))

$$\frac{\frac{\left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} - 9 - \frac{9 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}} - \frac{6 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

   /       2     \              /       2                2        \               /       2     \            /                     2                2                     2         \                     
   |    cos (3*x)|              |    cos (x)        2*cos (x)     |               |    cos (3*x)|            |         3        cos (x)        3*cos (x)             3*cos (x)      |                     
54*|1 + ---------|*cos(3*x)   9*|1 + ------- + -------------------|*cos(3*x)   27*|1 + ---------|*cos(x)   2*|1 + ----------- + ------- + ------------------- + --------------------|*cos(x)*log(sin(3*x))
   |       2     |              |       2                     2   |               |       2     |            |    log(sin(x))      2                     2         2            2   |                     
   \    sin (3*x)/              \    sin (x)   log(sin(x))*sin (x)/               \    sin (3*x)/            \                  sin (x)   log(sin(x))*sin (x)   log (sin(x))*sin (x)/                     
--------------------------- + ---------------------------------------------- + ------------------------- - -----------------------------------------------------------------------------------------------
          sin(3*x)                         log(sin(x))*sin(3*x)                    log(sin(x))*sin(x)                                             log(sin(x))*sin(x)                                      
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                               log(sin(x))

$$\frac{\frac{54 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}\right) \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} + \frac{27 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}} + \frac{9 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(3 x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(3 x \right)}} - \frac{2 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}}}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$$

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Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de y=(lnsin3x)/lnsinx

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución