Derivada de y=x^9sin9x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{9}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{9}$ tenemos $9 x^{8}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(9 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 9 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 9 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $9$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $9 \cos{\left(9 x \right)}$

   Como resultado de: $9 x^{9} \cos{\left(9 x \right)} + 9 x^{8} \sin{\left(9 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $9 x^{8} \left(x \cos{\left(9 x \right)} + \sin{\left(9 x \right)}\right)$

Respuesta:

$9 x^{8} \left(x \cos{\left(9 x \right)} + \sin{\left(9 x \right)}\right)$