Derivada de (z-2i)^2(z-1)/(z^2+4)^2

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = \left(z - 1\right) \left(z - 2 i\right)^{2}$ y $g{\left(z \right)} = \left(z^{2} + 4\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$

      $f{\left(z \right)} = \left(z - 2 i\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

      1. Sustituimos $u = z - 2 i$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z - 2 i\right)$:

         1. diferenciamos $z - 2 i$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $- 2 i$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 z - 4 i$

      $g{\left(z \right)} = z - 1$; calculamos $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

      1. diferenciamos $z - 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de: $\left(z - 1\right) \left(2 z - 4 i\right) + \left(z - 2 i\right)^{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Sustituimos $u = z^{2} + 4$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 4\right)$:

      1. diferenciamos $z^{2} + 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$

         Como resultado de: $2 z$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 z \left(2 z^{2} + 8\right)$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 2 z \left(z - 1\right) \left(z - 2 i\right)^{2} \left(2 z^{2} + 8\right) + \left(z^{2} + 4\right)^{2} \left(\left(z - 1\right) \left(2 z - 4 i\right) + \left(z - 2 i\right)^{2}\right)}{\left(z^{2} + 4\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(z - 2 i\right) \left(- 4 z \left(z - 1\right) \left(z - 2 i\right) + \left(z^{2} + 4\right) \left(3 z - 2 - 2 i\right)\right)}{\left(z^{2} + 4\right)^{3}}$

Respuesta:

$\frac{\left(z - 2 i\right) \left(- 4 z \left(z - 1\right) \left(z - 2 i\right) + \left(z^{2} + 4\right) \left(3 z - 2 - 2 i\right)\right)}{\left(z^{2} + 4\right)^{3}}$