Derivada de y=2ctgx-8x^-4+15x-1

1. diferenciamos $\left(15 x + \left(2 \cot{\left(x \right)} - \frac{8}{x^{4}}\right)\right) - 1$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $15 x + \left(2 \cot{\left(x \right)} - \frac{8}{x^{4}}\right)$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $2 \cot{\left(x \right)} - \frac{8}{x^{4}}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

               Method #1

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

               2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$.

               3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

               4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

                  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                     $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

                  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                     $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                     $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

                     Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                     1. La derivada del seno es igual al coseno:

                        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

                     Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                     1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

                     Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                     $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

               Method #2

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

               2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

                  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                     $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

                  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. La derivada del seno es igual al coseno:

                     $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

                  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                  $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

            Entonces, como resultado: $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x^{4}}$ tenemos $- \frac{4}{x^{5}}$

            Entonces, como resultado: $\frac{32}{x^{5}}$

         Como resultado de: $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{32}{x^{5}}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $15$

      Como resultado de: $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 15 + \frac{32}{x^{5}}$

   2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 15 + \frac{32}{x^{5}}$

2. Simplificamos:

   $15 - \frac{2}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{32}{x^{5}}$

Respuesta:

$15 - \frac{2}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{32}{x^{5}}$