Derivada de y=log3(ctg^7(2x-1))

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Sustituimos $u = \cot^{7}{\left(2 x - 1 \right)}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cot^{7}{\left(2 x - 1 \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \cot{\left(2 x - 1 \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{7}$ tenemos $7 u^{6}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cot{\left(2 x - 1 \right)}$:

         1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

            Method #1

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\cot{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{1}{\tan{\left(2 x - 1 \right)}}$

            2. Sustituimos $u = \tan{\left(2 x - 1 \right)}$.

            3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

            4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x - 1 \right)}$:

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\tan{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{\sin{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos{\left(2 x - 1 \right)}}$

               2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x - 1 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x - 1 \right)}$.

                  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = 2 x - 1$.

                  2. La derivada del seno es igual al coseno:

                     $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right)$:

                     1. diferenciamos $2 x - 1$ miembro por miembro:

                        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                           1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                           Entonces, como resultado: $2$

                        2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

                        Como resultado de: $2$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $2 \cos{\left(2 x - 1 \right)}$

                  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = 2 x - 1$.

                  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                     $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right)$:

                     1. diferenciamos $2 x - 1$ miembro por miembro:

                        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                           1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                           Entonces, como resultado: $2$

                        2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

                        Como resultado de: $2$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $- 2 \sin{\left(2 x - 1 \right)}$

                  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                  $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}$

            Method #2

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\cot{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{\cos{\left(2 x - 1 \right)}}{\sin{\left(2 x - 1 \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x - 1 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x - 1 \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 2 x - 1$.

               2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right)$:

                  1. diferenciamos $2 x - 1$ miembro por miembro:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $2$

                     2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

                     Como resultado de: $2$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- 2 \sin{\left(2 x - 1 \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 2 x - 1$.

               2. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x - 1\right)$:

                  1. diferenciamos $2 x - 1$ miembro por miembro:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $2$

                     2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

                     Como resultado de: $2$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $2 \cos{\left(2 x - 1 \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{- 2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} - 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{7 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}\right) \cot^{6}{\left(2 x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{7 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \cot{\left(2 x - 1 \right)}}$

   Entonces, como resultado: $- \frac{7 \left(2 \sin^{2}{\left(2 x - 1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)}\right)}{\log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \cot{\left(2 x - 1 \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{14}{\log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan{\left(2 x - 1 \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{14}{\log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(2 x - 1 \right)} \tan{\left(2 x - 1 \right)}}$