Derivada de y=cot(2-4x^2)

1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

   Method #1

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\cot{\left(2 - 4 x^{2} \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \tan{\left(4 x^{2} - 2 \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(4 x^{2} - 2 \right)}$:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(4 x^{2} - 2 \right)} = \frac{\sin{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}{\cos{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x^{2} - 2 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x^{2} - 2 \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 4 x^{2} - 2$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 2\right)$:

               1. diferenciamos $4 x^{2} - 2$ miembro por miembro:

                  1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

                  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

                     Entonces, como resultado: $8 x$

                  Como resultado de: $8 x$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $8 x \cos{\left(4 x^{2} - 2 \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 4 x^{2} - 2$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 2\right)$:

               1. diferenciamos $4 x^{2} - 2$ miembro por miembro:

                  1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

                  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

                     Entonces, como resultado: $8 x$

                  Como resultado de: $8 x$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 8 x \sin{\left(4 x^{2} - 2 \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{8 x \sin^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)} + 8 x \cos^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{8 x \sin^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)} + 8 x \cos^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)} \tan^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{8 x \sin^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)} + 8 x \cos^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)} \tan^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}$

   Method #2

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\cot{\left(2 - 4 x^{2} \right)} = - \frac{\cos{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}{\sin{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x^{2} - 2 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x^{2} - 2 \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 4 x^{2} - 2$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 2\right)$:

            1. diferenciamos $4 x^{2} - 2$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

                  Entonces, como resultado: $8 x$

               Como resultado de: $8 x$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 8 x \sin{\left(4 x^{2} - 2 \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 4 x^{2} - 2$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 2\right)$:

            1. diferenciamos $4 x^{2} - 2$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

                  Entonces, como resultado: $8 x$

               Como resultado de: $8 x$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $8 x \cos{\left(4 x^{2} - 2 \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- 8 x \sin^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)} - 8 x \cos^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{- 8 x \sin^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)} - 8 x \cos^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{8 x}{\sin^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}$

Respuesta:

$\frac{8 x}{\sin^{2}{\left(4 x^{2} - 2 \right)}}$