Derivada de -x-ln(1-2tg(x/2))

1. diferenciamos $- x - \log{\left(1 - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$ miembro por miembro:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $-1$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = 1 - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$:

         1. diferenciamos $1 - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

               2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

                  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

                  2. La derivada del seno es igual al coseno:

                     $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

                  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

                  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                     $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

                  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                  $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

               Entonces, como resultado: $- \frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

            Como resultado de: $- \frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)}{\left(1 - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)}{\left(1 - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

   Como resultado de: $-1 + \frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)}{\left(1 - 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)}$

Respuesta:

$- \frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right)}$