Sr Examen

Otras calculadoras

Derivada de y=x×√((a^2-x^2)/(a^2+x^2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        _________
       /  2    2 
      /  a  - x  
x*   /   ------- 
    /     2    2 
  \/     a  + x  
$$x \sqrt{\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}}}$$
x*sqrt((a^2 - x^2)/(a^2 + x^2))
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ; calculamos :

    1. Según el principio, aplicamos: tenemos

    ; calculamos :

    1. Sustituimos .

    2. Según el principio, aplicamos: tenemos

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        y .

        Para calcular :

        1. diferenciamos miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: tenemos

            Entonces, como resultado:

          Como resultado de:

        Para calcular :

        1. diferenciamos miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: tenemos

          Como resultado de:

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      Como resultado de la secuencia de reglas:

    Como resultado de:

  2. Simplificamos:


Respuesta:

Primera derivada [src]
                          _________                                    
                         /  2    2            /              / 2    2\\
                        /  a  - x   / 2    2\ |     x      x*\a  - x /|
                  x*   /   ------- *\a  + x /*|- ------- - -----------|
      _________       /     2    2            |   2    2             2|
     /  2    2      \/     a  + x             |  a  + x     / 2    2\ |
    /  a  - x                                 \             \a  + x / /
   /   -------  + -----------------------------------------------------
  /     2    2                            2    2                       
\/     a  + x                            a  - x                        
$$\frac{x \sqrt{\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}}} \left(a^{2} + x^{2}\right) \left(- \frac{x \left(a^{2} - x^{2}\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}} - \frac{x}{a^{2} + x^{2}}\right)}{a^{2} - x^{2}} + \sqrt{\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}}}$$
Segunda derivada [src]
                   /                                            2                                                           \ 
                   |                               /     2    2\                          /     2    2\        /     2    2\| 
                   |                             2 |    a  - x |                        2 |    a  - x |      2 |    a  - x || 
         _________ |                            x *|1 + -------|                     2*x *|1 + -------|   2*x *|1 + -------|| 
        /  2    2  |         2      / 2    2\      |     2    2|       2 / 2    2\        |     2    2|        |     2    2|| 
       /  a  - x   |      4*x     3*\a  - x /      \    a  + x /    4*x *\a  - x /        \    a  + x /        \    a  + x /| 
-x*   /   ------- *|3 - ------- + ----------- - ----------------- - -------------- + ------------------ + ------------------| 
     /     2    2  |     2    2      2    2           2    2                   2           2    2               2    2      | 
   \/     a  + x   |    a  + x      a  + x           a  - x           / 2    2\           a  + x               a  - x       | 
                   \                                                  \a  + x /                                             / 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                            2    2                                                            
                                                           a  - x                                                             
$$- \frac{x \sqrt{\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}}} \left(- \frac{4 x^{2} \left(a^{2} - x^{2}\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)}{a^{2} + x^{2}} - \frac{4 x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - \frac{x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)^{2}}{a^{2} - x^{2}} + \frac{2 x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)}{a^{2} - x^{2}} + \frac{3 \left(a^{2} - x^{2}\right)}{a^{2} + x^{2}} + 3\right)}{a^{2} - x^{2}}$$
Tercera derivada [src]
                 /       /    /      2    2        2       2 / 2    2\\     /      2    2        2       2 / 2    2\\                                          /      2    2        2       2 / 2    2\\                   3                     2     /     2    2\ /      2    2        2       2 / 2    2\\                                          2                      \                                                               2                                          \ 
                 |       |    |     a  - x      4*x     4*x *\a  - x /|     |     a  - x      4*x     4*x *\a  - x /|     /     2    2\     /     2    2\      |     a  - x      2*x     2*x *\a  - x /|      /     2    2\         /     2    2\      |    a  - x | |     a  - x      4*x     4*x *\a  - x /|        /     2    2\        /     2    2\          /     2    2\|                                                  /     2    2\         /     2    2\        /     2    2\| 
                 |       |  4*|-1 - ------- + ------- + --------------|   4*|-1 - ------- + ------- + --------------|     |    a  - x |     |    a  - x |   12*|-1 - ------- + ------- + --------------|    2 |    a  - x |       2 |    a  - x |    3*|1 + -------|*|-1 - ------- + ------- + --------------|      2 |    a  - x |      2 |    a  - x |        2 |    a  - x ||                                                2 |    a  - x |       2 |    a  - x |      2 |    a  - x || 
       _________ |       |    |      2    2    2    2              2  |     |      2    2    2    2              2  |   2*|1 + -------|   2*|1 + -------|      |      2    2    2    2              2  |   x *|1 + -------|    6*x *|1 + -------|      |     2    2| |      2    2    2    2              2  |   8*x *|1 + -------|   6*x *|1 + -------|     8*x *|1 + -------||                                             3*x *|1 + -------|    6*x *|1 + -------|   6*x *|1 + -------|| 
      /  2    2  |       |    |     a  + x    a  + x      / 2    2\   |     |     a  + x    a  + x      / 2    2\   |     |     2    2|     |     2    2|      |     a  + x    a  + x      / 2    2\   |      |     2    2|         |     2    2|      \    a  + x / |     a  + x    a  + x      / 2    2\   |        |     2    2|        |     2    2|          |     2    2||        2      / 2    2\       2 / 2    2\        |     2    2|         |     2    2|        |     2    2|| 
     /  a  - x   |     2 |    \                           \a  + x /   /     \                           \a  + x /   /     \    a  + x /     \    a  + x /      \                           \a  + x /   /      \    a  + x /         \    a  + x /                    \                           \a  + x /   /        \    a  + x /        \    a  + x /          \    a  + x /|    12*x     3*\a  - x /   12*x *\a  - x /        \    a  + x /         \    a  + x /        \    a  + x /| 
-   /   ------- *|3 + x *|- ------------------------------------------- - ------------------------------------------- + --------------- + --------------- + -------------------------------------------- + ----------------- - ------------------- + --------------------------------------------------------- + ------------------ - ------------------- + -------------------| - ------- + ----------- - --------------- - ------------------- + ------------------ + ------------------| 
   /     2    2  |       |                     2    2                                        2    2                          2    2            2    2                          2    2                                   2                    2                                 2    2                                         2       / 2    2\ / 2    2\   / 2    2\ / 2    2\|    2    2      2    2                 2            2    2               2    2               2    2      | 
 \/     a  + x   |       |                    a  + x                                        a  - x                          a  + x            a  - x                          a  + x                           / 2    2\            / 2    2\                                 a  - x                                 / 2    2\        \a  + x /*\a  - x /   \a  + x /*\a  - x /|   a  + x      a  + x         / 2    2\            a  - x               a  + x               a  - x       | 
                 \       \                                                                                                                                                                                     \a  - x /            \a  - x /                                                                        \a  - x /                                                 /                              \a  + x /                                                                   / 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                           2    2                                                                                                                                                                                                                                           
                                                                                                                                                                                                                                          a  - x                                                                                                                                                                                                                                            
$$- \frac{\sqrt{\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}}} \left(- \frac{12 x^{2} \left(a^{2} - x^{2}\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}} + x^{2} \left(- \frac{6 x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)^{2}}{\left(a^{2} - x^{2}\right) \left(a^{2} + x^{2}\right)} + \frac{8 x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)}{\left(a^{2} - x^{2}\right) \left(a^{2} + x^{2}\right)} + \frac{x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)^{3}}{\left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}} - \frac{6 x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)^{2}}{\left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}} + \frac{8 x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)}{\left(a^{2} - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)}{a^{2} + x^{2}} + \frac{12 \left(\frac{2 x^{2} \left(a^{2} - x^{2}\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - \frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{a^{2} + x^{2}} - \frac{4 \left(\frac{4 x^{2} \left(a^{2} - x^{2}\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}} + \frac{4 x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - \frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{a^{2} + x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right) \left(\frac{4 x^{2} \left(a^{2} - x^{2}\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}} + \frac{4 x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - \frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{a^{2} - x^{2}} + \frac{2 \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)}{a^{2} - x^{2}} - \frac{4 \left(\frac{4 x^{2} \left(a^{2} - x^{2}\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}} + \frac{4 x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - \frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{a^{2} - x^{2}}\right) + \frac{6 x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)}{a^{2} + x^{2}} - \frac{12 x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - \frac{3 x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)^{2}}{a^{2} - x^{2}} + \frac{6 x^{2} \left(\frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2} + x^{2}} + 1\right)}{a^{2} - x^{2}} + \frac{3 \left(a^{2} - x^{2}\right)}{a^{2} + x^{2}} + 3\right)}{a^{2} - x^{2}}$$