Derivada de (e^t)^3+(sin(t))^2-2*(e^t)*(sin(t))

1. diferenciamos $- 2 e^{t} \sin{\left(t \right)} + \left(\left(e^{t}\right)^{3} + \sin^{2}{\left(t \right)}\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\left(e^{t}\right)^{3} + \sin^{2}{\left(t \right)}$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = e^{t}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} e^{t}$:

         1. Derivado $e^{t}$ es.

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 e^{3 t}$

      4. Sustituimos $u = \sin{\left(t \right)}$.

      5. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$

      Como resultado de: $3 e^{3 t} + 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} g{\left(t \right)} = f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$

            $f{\left(t \right)} = e^{t}$; calculamos $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

            1. Derivado $e^{t}$ es.

            $g{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$; calculamos $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

            Como resultado de: $e^{t} \sin{\left(t \right)} + e^{t} \cos{\left(t \right)}$

         Entonces, como resultado: $2 e^{t} \sin{\left(t \right)} + 2 e^{t} \cos{\left(t \right)}$

      Entonces, como resultado: $- 2 e^{t} \sin{\left(t \right)} - 2 e^{t} \cos{\left(t \right)}$

   Como resultado de: $3 e^{3 t} - 2 e^{t} \sin{\left(t \right)} - 2 e^{t} \cos{\left(t \right)} + 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$

2. Simplificamos:

   $3 e^{3 t} - 2 \sqrt{2} e^{t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(2 t \right)}$

Respuesta:

$3 e^{3 t} - 2 \sqrt{2} e^{t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(2 t \right)}$