Derivada de y=tg^7lnx+sqrt5x

1. diferenciamos $\sqrt{5 x} + \log{\left(x \right)} \tan^{7}{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \tan^{7}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{7}$ tenemos $7 u^{6}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{7 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de: $\frac{7 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)} \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{x}$

   2. Sustituimos $u = 5 x$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $5$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

   Como resultado de: $\frac{7 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)} \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{x} + \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{7 \log{\left(x \right)} \sin^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{8}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{x} + \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Respuesta:

$\frac{7 \log{\left(x \right)} \sin^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{8}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{x} + \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$