Derivada de e^(x/2)*sin2x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \cos{\left(2 x \right)}$

   Como resultado de: $\frac{e^{\frac{x}{2}} \sin{\left(2 x \right)}}{2} + 2 e^{\frac{x}{2}} \cos{\left(2 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Respuesta:

$\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2}$