Derivada de y=ctg^2(x+e^2x)

1. Sustituimos $u = \cot{\left(x + e^{2} x \right)}$.

2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cot{\left(x + e^{2} x \right)}$:

   1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(x + e^{2} x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x + e^{2} x \right)}}$

      2. Sustituimos $u = \tan{\left(x + e^{2} x \right)}$.

      3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x + e^{2} x \right)}$:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(x + e^{2} x \right)} = \frac{\sin{\left(x + e^{2} x \right)}}{\cos{\left(x + e^{2} x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + e^{2} x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x + e^{2} x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = x + e^{2} x$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + e^{2} x\right)$:

               1. diferenciamos $x + e^{2} x$ miembro por miembro:

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $e^{2}$

                  Como resultado de: $1 + e^{2}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\left(1 + e^{2}\right) \cos{\left(x + e^{2} x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = x + e^{2} x$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + e^{2} x\right)$:

               1. diferenciamos $x + e^{2} x$ miembro por miembro:

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $e^{2}$

                  Como resultado de: $1 + e^{2}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \left(1 + e^{2}\right) \sin{\left(x + e^{2} x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{\left(1 + e^{2}\right) \sin^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} + \left(1 + e^{2}\right) \cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}{\cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\left(1 + e^{2}\right) \sin^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} + \left(1 + e^{2}\right) \cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}{\cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} \tan^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}$

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(x + e^{2} x \right)} = \frac{\cos{\left(x + e^{2} x \right)}}{\sin{\left(x + e^{2} x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + e^{2} x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x + e^{2} x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x + e^{2} x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + e^{2} x\right)$:

            1. diferenciamos $x + e^{2} x$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $e^{2}$

               Como resultado de: $1 + e^{2}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \left(1 + e^{2}\right) \sin{\left(x + e^{2} x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x + e^{2} x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + e^{2} x\right)$:

            1. diferenciamos $x + e^{2} x$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $e^{2}$

               Como resultado de: $1 + e^{2}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\left(1 + e^{2}\right) \cos{\left(x + e^{2} x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- \left(1 + e^{2}\right) \sin^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} - \left(1 + e^{2}\right) \cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}{\sin^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $- \frac{2 \left(\left(1 + e^{2}\right) \sin^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} + \left(1 + e^{2}\right) \cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}\right) \cot{\left(x + e^{2} x \right)}}{\cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} \tan^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}$

4. Simplificamos:

   $- \frac{2 \left(1 + e^{2}\right) \cos{\left(x + x e^{2} \right)}}{\sin^{3}{\left(x + x e^{2} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{2 \left(1 + e^{2}\right) \cos{\left(x + x e^{2} \right)}}{\sin^{3}{\left(x + x e^{2} \right)}}$