Sr Examen

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y=ctg^2(x+e^2x)
Derivada de la función/ y=ctg/ ctg^2/ y=ctg^2(x+e^2x)

Derivada de y=ctg^2(x+e^2x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   2/     2  \
cot \x + E *x/
cot⁡2(x+e2x)\cot^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} 
cot(x + E^2*x)^2
Solución detallada

  1. Sustituimos u=cot⁡(x+e2x)u = \cot{\left(x + e^{2} x \right)}.

  2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(x+e2x)\frac{d}{d x} \cot{\left(x + e^{2} x \right)}:

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x+e2x)=1tan⁡(x+e2x)\cot{\left(x + e^{2} x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x + e^{2} x \right)}}

      2. Sustituimos u=tan⁡(x+e2x)u = \tan{\left(x + e^{2} x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x+e2x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x + e^{2} x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(x+e2x)=sin⁡(x+e2x)cos⁡(x+e2x)\tan{\left(x + e^{2} x \right)} = \frac{\sin{\left(x + e^{2} x \right)}}{\cos{\left(x + e^{2} x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(x+e2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + e^{2} x \right)} y g(x)=cos⁡(x+e2x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x + e^{2} x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=x+e2xu = x + e^{2} x.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+e2x)\frac{d}{d x} \left(x + e^{2} x\right):

            1. diferenciamos x+e2xx + e^{2} x miembro por miembro:

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: e2e^{2}

              Como resultado de: 1+e21 + e^{2}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            (1+e2)cos⁡(x+e2x)\left(1 + e^{2}\right) \cos{\left(x + e^{2} x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=x+e2xu = x + e^{2} x.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+e2x)\frac{d}{d x} \left(x + e^{2} x\right):

            1. diferenciamos x+e2xx + e^{2} x miembro por miembro:

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: e2e^{2}

              Como resultado de: 1+e21 + e^{2}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −(1+e2)sin⁡(x+e2x)- \left(1 + e^{2}\right) \sin{\left(x + e^{2} x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          (1+e2)sin⁡2(x+e2x)+(1+e2)cos⁡2(x+e2x)cos⁡2(x+e2x)\frac{\left(1 + e^{2}\right) \sin^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} + \left(1 + e^{2}\right) \cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}{\cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −(1+e2)sin⁡2(x+e2x)+(1+e2)cos⁡2(x+e2x)cos⁡2(x+e2x)tan⁡2(x+e2x)- \frac{\left(1 + e^{2}\right) \sin^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} + \left(1 + e^{2}\right) \cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}{\cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} \tan^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x+e2x)=cos⁡(x+e2x)sin⁡(x+e2x)\cot{\left(x + e^{2} x \right)} = \frac{\cos{\left(x + e^{2} x \right)}}{\sin{\left(x + e^{2} x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos⁡(x+e2x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + e^{2} x \right)} y g(x)=sin⁡(x+e2x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x + e^{2} x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=x+e2xu = x + e^{2} x.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+e2x)\frac{d}{d x} \left(x + e^{2} x\right):

          1. diferenciamos x+e2xx + e^{2} x miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: e2e^{2}

            Como resultado de: 1+e21 + e^{2}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −(1+e2)sin⁡(x+e2x)- \left(1 + e^{2}\right) \sin{\left(x + e^{2} x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=x+e2xu = x + e^{2} x.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+e2x)\frac{d}{d x} \left(x + e^{2} x\right):

          1. diferenciamos x+e2xx + e^{2} x miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: e2e^{2}

            Como resultado de: 1+e21 + e^{2}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          (1+e2)cos⁡(x+e2x)\left(1 + e^{2}\right) \cos{\left(x + e^{2} x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −(1+e2)sin⁡2(x+e2x)−(1+e2)cos⁡2(x+e2x)sin⁡2(x+e2x)\frac{- \left(1 + e^{2}\right) \sin^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} - \left(1 + e^{2}\right) \cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}{\sin^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    −2((1+e2)sin⁡2(x+e2x)+(1+e2)cos⁡2(x+e2x))cot⁡(x+e2x)cos⁡2(x+e2x)tan⁡2(x+e2x)- \frac{2 \left(\left(1 + e^{2}\right) \sin^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} + \left(1 + e^{2}\right) \cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}\right) \cot{\left(x + e^{2} x \right)}}{\cos^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} \tan^{2}{\left(x + e^{2} x \right)}}

  4. Simplificamos:

    −2(1+e2)cos⁡(x+xe2)sin⁡3(x+xe2)- \frac{2 \left(1 + e^{2}\right) \cos{\left(x + x e^{2} \right)}}{\sin^{3}{\left(x + x e^{2} \right)}}

Respuesta:

−2(1+e2)cos⁡(x+xe2)sin⁡3(x+xe2)- \frac{2 \left(1 + e^{2}\right) \cos{\left(x + x e^{2} \right)}}{\sin^{3}{\left(x + x e^{2} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
  /     2\ /        2/     2  \\    /     2  \
2*\1 + E /*\-1 - cot \x + E *x//*cot\x + E *x/
2(1+e2)(−cot⁡2(x+e2x)−1)cot⁡(x+e2x)2 \left(1 + e^{2}\right) \left(- \cot^{2}{\left(x + e^{2} x \right)} - 1\right) \cot{\left(x + e^{2} x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
          2                                                
  /     2\  /       2/  /     2\\\ /         2/  /     2\\\
2*\1 + e / *\1 + cot \x*\1 + e ///*\1 + 3*cot \x*\1 + e ///
2(1+e2)2(cot⁡2(x(1+e2))+1)(3cot⁡2(x(1+e2))+1)2 \left(1 + e^{2}\right)^{2} \left(\cot^{2}{\left(x \left(1 + e^{2}\right) \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \left(1 + e^{2}\right) \right)} + 1\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
           3                                                                
   /     2\  /       2/  /     2\\\ /         2/  /     2\\\    /  /     2\\
-8*\1 + e / *\1 + cot \x*\1 + e ///*\2 + 3*cot \x*\1 + e ///*cot\x*\1 + e //
−8(1+e2)3(cot⁡2(x(1+e2))+1)(3cot⁡2(x(1+e2))+2)cot⁡(x(1+e2))- 8 \left(1 + e^{2}\right)^{3} \left(\cot^{2}{\left(x \left(1 + e^{2}\right) \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \left(1 + e^{2}\right) \right)} + 2\right) \cot{\left(x \left(1 + e^{2}\right) \right)}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ctg^2(x+e^2x)
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