Derivada de x/sqrt(1+x^3)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{3} + 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{3} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x^{3} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         Como resultado de: $3 x^{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{3 x^{3}}{2 \sqrt{x^{3} + 1}} + \sqrt{x^{3} + 1}}{x^{3} + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 - x^{3}}{2 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{2 - x^{3}}{2 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$