Derivada de (y+1)/sqrt(y^2+2*y)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d y} \frac{f{\left(y \right)}}{g{\left(y \right)}} = \frac{- f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}}{g^{2}{\left(y \right)}}$

   $f{\left(y \right)} = y + 1$ y $g{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2} + 2 y}$.

   Para calcular $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

   1. diferenciamos $y + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

      Como resultado de: $1$

   Para calcular $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

   1. Sustituimos $u = y^{2} + 2 y$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} \left(y^{2} + 2 y\right)$:

      1. diferenciamos $y^{2} + 2 y$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $y^{2}$ tenemos $2 y$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de: $2 y + 2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 y + 2}{2 \sqrt{y^{2} + 2 y}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{\left(y + 1\right) \left(2 y + 2\right)}{2 \sqrt{y^{2} + 2 y}} + \sqrt{y^{2} + 2 y}}{y^{2} + 2 y}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{1}{y \sqrt{y \left(y + 2\right)} \left(y + 2\right)}$

Respuesta:

$- \frac{1}{y \sqrt{y \left(y + 2\right)} \left(y + 2\right)}$