Derivada de (x-x^1/2)^2/(1-2x)^3

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(- \sqrt{x} + x\right)^{2}$ y $g{\left(x \right)} = \left(1 - 2 x\right)^{3}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = - \sqrt{x} + x$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{x} + x\right)$:

      1. diferenciamos $- \sqrt{x} + x$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            Entonces, como resultado: $- \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de: $1 - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(1 - \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \left(- 2 \sqrt{x} + 2 x\right)$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 1 - 2 x$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - 2 x\right)$:

      1. diferenciamos $1 - 2 x$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-2$

         Como resultado de: $-2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 6 \left(1 - 2 x\right)^{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(1 - \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \left(1 - 2 x\right)^{3} \left(- 2 \sqrt{x} + 2 x\right) + 6 \left(1 - 2 x\right)^{2} \left(- \sqrt{x} + x\right)^{2}}{\left(1 - 2 x\right)^{6}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- 6 x^{\frac{3}{2}} - 3 \sqrt{x} + 2 x^{2} + 6 x + 1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$

Respuesta:

$\frac{- 6 x^{\frac{3}{2}} - 3 \sqrt{x} + 2 x^{2} + 6 x + 1}{16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1}$