Derivada de y=tg^3(6x)-e^(1/x)

1. diferenciamos $- e^{\frac{1}{x}} + \tan^{3}{\left(6 x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Sustituimos $u = \tan{\left(6 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(6 x \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(6 x \right)} = \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{\cos{\left(6 x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(6 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(6 x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 6 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 6 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $6$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $6 \cos{\left(6 x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 6 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 6 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $6$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 6 \sin{\left(6 x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{6 \sin^{2}{\left(6 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{3 \left(6 \sin^{2}{\left(6 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(6 x \right)}\right) \tan^{2}{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}$

   4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \frac{1}{x}$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

   Como resultado de: $\frac{3 \left(6 \sin^{2}{\left(6 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(6 x \right)}\right) \tan^{2}{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(6 x \right)}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{18 \tan^{2}{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(6 x \right)}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Respuesta:

$\frac{18 \tan^{2}{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(6 x \right)}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$