Sr Examen

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Derivada de la función/ (x)^2/ xln(x+((x)^2+(a)^2)^1/2)

Derivada de xln(x+((x)^2+(a)^2)^1/2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /       _________\
     |      /  2    2 |
x*log\x + \/  x  + a  /
xlog⁡(x+a2+x2)x \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)} 
x*log(x + sqrt(x^2 + a^2))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    g(x)=log⁡(x+a2+x2)g{\left(x \right)} = \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=x+a2+x2u = x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}.

    2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(x+a2+x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right):

      1. diferenciamos x+a2+x2x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        2. Sustituimos u=a2+x2u = a^{2} + x^{2}.

        3. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(a2+x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} + x^{2}\right):

          1. diferenciamos a2+x2a^{2} + x^{2} miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

            2. La derivada de una constante a2a^{2} es igual a cero.

            Como resultado de: 2x2 x

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          xa2+x2\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

        Como resultado de: xa2+x2+1\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      xa2+x2+1x+a2+x2\frac{\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}

    Como resultado de: x(xa2+x2+1)x+a2+x2+log⁡(x+a2+x2)\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}

  2. Simplificamos:

    xa2+x2+log⁡(x+a2+x2)\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}

Respuesta:

xa2+x2+log⁡(x+a2+x2)\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}

Primera derivada [src] 
  /         x      \                        
x*|1 + ------------|                        
  |       _________|                        
  |      /  2    2 |      /       _________\
  \    \/  x  + a  /      |      /  2    2 |
-------------------- + log\x + \/  x  + a  /
         _________                          
        /  2    2                           
  x + \/  x  + a
x(xa2+x2+1)x+a2+x2+log⁡(x+a2+x2)\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
      /                  2               \               
      |/         x      \             2  |               
      ||1 + ------------|            x   |               
      ||       _________|    -1 + -------|               
      ||      /  2    2 |          2    2|               
      |\    \/  a  + x  /         a  + x |       2*x     
2 - x*|------------------- + ------------| + ------------
      |         _________       _________|      _________
      |        /  2    2       /  2    2 |     /  2    2 
      \  x + \/  a  + x      \/  a  + x  /   \/  a  + x  
---------------------------------------------------------
                            _________                    
                           /  2    2                     
                     x + \/  a  + x
−x((xa2+x2+1)2x+a2+x2+x2a2+x2−1a2+x2)+2xa2+x2+2x+a2+x2\frac{- x \left(\frac{\left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{2}}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \frac{\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}\right) + \frac{2 x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 2}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                    3                                             /         2  \\                       2                   
  |  /         x      \        /         2  \     /         x      \ |        x   ||     /         x      \      /         2  \
  |2*|1 + ------------|        |        x   |   3*|1 + ------------|*|-1 + -------||   3*|1 + ------------|      |        x   |
  |  |       _________|    3*x*|-1 + -------|     |       _________| |      2    2||     |       _________|    3*|-1 + -------|
  |  |      /  2    2 |        |      2    2|     |      /  2    2 | \     a  + x /|     |      /  2    2 |      |      2    2|
  |  \    \/  a  + x  /        \     a  + x /     \    \/  a  + x  /               |     \    \/  a  + x  /      \     a  + x /
x*|--------------------- + ------------------ + -----------------------------------| - --------------------- - ----------------
  |                   2                3/2        /       _________\    _________  |             _________          _________  
  | /       _________\        / 2    2\           |      /  2    2 |   /  2    2   |            /  2    2          /  2    2   
  | |      /  2    2 |        \a  + x /           \x + \/  a  + x  /*\/  a  + x    |      x + \/  a  + x         \/  a  + x    
  \ \x + \/  a  + x  /                                                             /                                           
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                               _________                                                       
                                                              /  2    2                                                        
                                                        x + \/  a  + x
x(3x(x2a2+x2−1)(a2+x2)32+2(xa2+x2+1)3(x+a2+x2)2+3(xa2+x2+1)(x2a2+x2−1)a2+x2(x+a2+x2))−3(xa2+x2+1)2x+a2+x2−3(x2a2+x2−1)a2+x2x+a2+x2\frac{x \left(\frac{3 x \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{3}}{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)^{2}} + \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\sqrt{a^{2} + x^{2}} \left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)}\right) - \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{2}}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{3 \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}
Simplificar
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