Derivada de ((z+2)^2)/(z^3+8)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = \left(z + 2\right)^{2}$ y $g{\left(z \right)} = z^{3} + 8$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. Sustituimos $u = z + 2$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z + 2\right)$:

      1. diferenciamos $z + 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 z + 4$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. diferenciamos $z^{3} + 8$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $8$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $z^{3}$ tenemos $3 z^{2}$

      Como resultado de: $3 z^{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 3 z^{2} \left(z + 2\right)^{2} + \left(2 z + 4\right) \left(z^{3} + 8\right)}{\left(z^{3} + 8\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(z + 2\right) \left(2 z^{3} - 3 z^{2} \left(z + 2\right) + 16\right)}{\left(z^{3} + 8\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{\left(z + 2\right) \left(2 z^{3} - 3 z^{2} \left(z + 2\right) + 16\right)}{\left(z^{3} + 8\right)^{2}}$