Derivada de y=(1+x^(3/4))^2/(x^(3/2))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x^{\frac{3}{4}} + 1\right)^{2}$ y $g{\left(x \right)} = x^{\frac{3}{2}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{\frac{3}{4}} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{\frac{3}{4}} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x^{\frac{3}{4}} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{\frac{3}{4}}$ tenemos $\frac{3}{4 \sqrt[4]{x}}$

         Como resultado de: $\frac{3}{4 \sqrt[4]{x}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{3 \left(2 x^{\frac{3}{4}} + 2\right)}{4 \sqrt[4]{x}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{\frac{3}{2}}$ tenemos $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{3 x^{\frac{5}{4}} \left(2 x^{\frac{3}{4}} + 2\right)}{4} - \frac{3 \sqrt{x} \left(x^{\frac{3}{4}} + 1\right)^{2}}{2}}{x^{3}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{7}{4}}}$

Respuesta:

$- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{7}{4}}}$