Derivada de y=ctg(x\2+π\4)

Solución

Ha introducido [src]

   /x   pi\
cot|- + --|
   \2   4 /

$$\cot{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$

cot(x/2 + pi/4)

Solución detallada

Hay varias formas de calcular esta derivada.
Method #1
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}$
2. Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$ .
3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ .
    2. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$ :
      
      diferenciamos $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ miembro por miembro:
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$
      
      La derivada de una constante $\frac{\pi}{4}$ es igual a cero.
      
      Como resultado de: $\frac{1}{2}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ .
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$ :
      
      diferenciamos $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ miembro por miembro:
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$
      
      La derivada de una constante $\frac{\pi}{4}$ es igual a cero.
      
      Como resultado de: $\frac{1}{2}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}$
Method #2
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$ :
    1. diferenciamos $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ miembro por miembro:
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$
      
      La derivada de una constante $\frac{\pi}{4}$ es igual a cero.
      
      Como resultado de: $\frac{1}{2}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$ :
    1. diferenciamos $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ miembro por miembro:
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$
      
      La derivada de una constante $\frac{\pi}{4}$ es igual a cero.
      
      Como resultado de: $\frac{1}{2}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

         2/x   pi\
      cot |- + --|
  1       \2   4 /
- - - ------------
  2        2

$$- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} - \frac{1}{2}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/       2/pi + 2*x\\    /pi + 2*x\
|1 + cot |--------||*cot|--------|
\        \   4    //    \   4    /
----------------------------------
                2

$$\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{2 x + \pi}{4} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{2 x + \pi}{4} \right)}}{2}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

 /       2/pi + 2*x\\ /         2/pi + 2*x\\ 
-|1 + cot |--------||*|1 + 3*cot |--------|| 
 \        \   4    // \          \   4    // 
---------------------------------------------
                      4

$$- \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{2 x + \pi}{4} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\frac{2 x + \pi}{4} \right)} + 1\right)}{4}$$

Simplificar

Gráfico

$Derivada de y=ctg(x\2+π\4)$

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de y=ctg(x\2+π\4)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2