Derivada de x(x+8)/(x+4)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(x + 8\right)$ y $g{\left(x \right)} = x + 4$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = x + 8$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x + 8$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $8$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de: $2 x + 8$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x + 4$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x \left(x + 8\right) + \left(x + 4\right) \left(2 x + 8\right)}{\left(x + 4\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- x \left(x + 8\right) + 2 \left(x + 4\right)^{2}}{\left(x + 4\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{- x \left(x + 8\right) + 2 \left(x + 4\right)^{2}}{\left(x + 4\right)^{2}}$