Derivada de y=1\cbrt/(3*x+1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x} \left(3 x + 1\right)$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{x}$ tenemos $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

      $g{\left(x \right)} = 3 x + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $3 x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de: $3$

      Como resultado de: $3 \sqrt[3]{x} + \frac{3 x + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 3 \sqrt[3]{x} - \frac{3 x + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}} \left(3 x + 1\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{12 x + 1}{3 x^{\frac{4}{3}} \left(3 x + 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$- \frac{12 x + 1}{3 x^{\frac{4}{3}} \left(3 x + 1\right)^{2}}$