Sr Examen

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x*ln(x/(1-x))+ln(1-x)
Derivada de la función/ (1-x)/ x*ln(x/(1-x))+ln(1-x)

Derivada de x*ln(x/(1-x))+ln(1-x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /  x  \             
x*log|-----| + log(1 - x)
     \1 - x/
xlog⁡(x1−x)+log⁡(1−x)x \log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)} + \log{\left(1 - x \right)} 
x*log(x/(1 - x)) + log(1 - x)
Solución detallada

  1. diferenciamos xlog⁡(x1−x)+log⁡(1−x)x \log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)} + \log{\left(1 - x \right)} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=log⁡(x1−x)g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x1−xu = \frac{x}{1 - x}.

      2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx1−x\frac{d}{d x} \frac{x}{1 - x}:

        1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=1−xg{\left(x \right)} = 1 - x.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. diferenciamos 1−x1 - x miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: −1-1

            Como resultado de: −1-1

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          1(1−x)2\frac{1}{\left(1 - x\right)^{2}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        1x(1−x)\frac{1}{x \left(1 - x\right)}

      Como resultado de: log⁡(x1−x)+11−x\log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)} + \frac{1}{1 - x}

    2. Sustituimos u=1−xu = 1 - x.

    3. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(1−x)\frac{d}{d x} \left(1 - x\right):

      1. diferenciamos 1−x1 - x miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: −1-1

        Como resultado de: −1-1

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −11−x- \frac{1}{1 - x}

    Como resultado de: log⁡(x1−x)\log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)}

Respuesta:

log⁡(x1−x)\log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10105-5
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
    1             /  1        x    \      /  x  \
- ----- + (1 - x)*|----- + --------| + log|-----|
  1 - x           |1 - x          2|      \1 - x/
                  \        (1 - x) /
(1−x)(x(1−x)2+11−x)+log⁡(x1−x)−11−x\left(1 - x\right) \left(\frac{x}{\left(1 - x\right)^{2}} + \frac{1}{1 - x}\right) + \log{\left(\frac{x}{1 - x} \right)} - \frac{1}{1 - x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                        x        /       x   \
                                 -1 + ------   2*|-1 + ------|
  1          1           x            -1 + x     \     -1 + x/
------ - --------- - --------- - ----------- + ---------------
-1 + x           2           2        x             -1 + x    
         (-1 + x)    (-1 + x)
−x(x−1)2+2(xx−1−1)x−1+1x−1−1(x−1)2−xx−1−1x- \frac{x}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right)}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{\frac{x}{x - 1} - 1}{x}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                 x        /       x   \                      x   
                          -1 + ------   6*|-1 + ------|               -1 + ------
      4           2            -1 + x     \     -1 + x/      4*x           -1 + x
- --------- + --------- + ----------- - --------------- + --------- + -----------
          2           3         2                  2              3    x*(-1 + x)
  (-1 + x)    (-1 + x)         x           (-1 + x)       (-1 + x)
4x(x−1)3−6(xx−1−1)(x−1)2−4(x−1)2+2(x−1)3+xx−1−1x(x−1)+xx−1−1x2\frac{4 x}{\left(x - 1\right)^{3}} - \frac{6 \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{4}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}} + \frac{\frac{x}{x - 1} - 1}{x \left(x - 1\right)} + \frac{\frac{x}{x - 1} - 1}{x^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de x*ln(x/(1-x))+ln(1-x)
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