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y=1/ctg^2x+1/3(ctgx)
Derivada de la función/ tg^2x/ ctg^2/ y=1/ctg^2x+1/3(ctgx)

Derivada de y=1/ctg^2x+1/3(ctgx)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   1      cot(x)
------- + ------
   2        3   
cot (x)
cot⁡(x)3+1cot⁡2(x)\frac{\cot{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} 
1/(cot(x)^2) + cot(x)/3
Solución detallada

  1. diferenciamos cot⁡(x)3+1cot⁡2(x)\frac{\cot{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} miembro por miembro:

    1. Sustituimos u=cot⁡2(x)u = \cot^{2}{\left(x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡2(x)\frac{d}{d x} \cot^{2}{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(x)\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}:

        1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

          Method #1

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

          2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

          3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

          4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

              tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

              ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

              f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

              Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

              1. La derivada del seno es igual al coseno:

                ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

              Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

              1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

              Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

              sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

          Method #2

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)tan⁡2(x)cot⁡3(x)\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} \cot^{3}{\left(x \right)}}

    4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. ddxcot⁡(x)=−1sin⁡2(x)\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      Entonces, como resultado: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)3cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{3 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)3cos⁡2(x)tan⁡2(x)+2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)tan⁡2(x)cot⁡3(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{3 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} \cot^{3}{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    2sin⁡(x)cos⁡3(x)−13sin⁡2(x)\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} - \frac{1}{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

2sin⁡(x)cos⁡3(x)−13sin⁡2(x)\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} - \frac{1}{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-100000100000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
         2                2   
  1   cot (x)   -2 - 2*cot (x)
- - - ------- - --------------
  3      3                2   
                cot(x)*cot (x)
−−2cot⁡2(x)−2cot⁡(x)cot⁡2(x)−cot⁡2(x)3−13- \frac{- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2}{\cot{\left(x \right)} \cot^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{3} - \frac{1}{3}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /       2   \ /              /       2   \         \
  |1   cot (x)| |     6      9*\1 + cot (x)/         |
2*|- + -------|*|- ------- + --------------- + cot(x)|
  \3      3   / |     2             4                |
                \  cot (x)       cot (x)             /
2(cot⁡2(x)3+13)(9(cot⁡2(x)+1)cot⁡4(x)+cot⁡(x)−6cot⁡2(x))2 \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{3}\right) \left(\frac{9 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot^{4}{\left(x \right)}} + \cot{\left(x \right)} - \frac{6}{\cot^{2}{\left(x \right)}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                /                                                             2\
  /       2   \ |                             /       2   \      /       2   \ |
  |1   cot (x)| |          2        12     48*\1 + cot (x)/   36*\1 + cot (x)/ |
2*|- + -------|*|-1 - 3*cot (x) + ------ - ---------------- + -----------------|
  \3      3   / |                 cot(x)          3                   5        |
                \                              cot (x)             cot (x)     /
2(cot⁡2(x)3+13)(36(cot⁡2(x)+1)2cot⁡5(x)−48(cot⁡2(x)+1)cot⁡3(x)−3cot⁡2(x)−1+12cot⁡(x))2 \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{3}\right) \left(\frac{36 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{5}{\left(x \right)}} - \frac{48 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot^{3}{\left(x \right)}} - 3 \cot^{2}{\left(x \right)} - 1 + \frac{12}{\cot{\left(x \right)}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=1/ctg^2x+1/3(ctgx)
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