Derivada de y=3^x/ctgx

Solución

Ha introducido [src]

   x  
  3   
------
cot(x)

$$\frac{3^{x}}{\cot{\left(x \right)}}$$

3^x/cot(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = 3^{x}$ y $g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left(3 \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
  Method #1
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
  2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  Method #2
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\frac{3^{x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 3^{x} \log{\left(3 \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{3^{x} \left(\frac{\log{\left(3 \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{3^{x} \left(\frac{\log{\left(3 \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{2} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

 x           x /       2   \
3 *log(3)   3 *\1 + cot (x)/
--------- + ----------------
  cot(x)           2        
                cot (x)

$$\frac{3^{x} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3^{x} \log{\left(3 \right)}}{\cot{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

   /                          /            2   \     /       2   \       \
 x |   2        /       2   \ |     1 + cot (x)|   2*\1 + cot (x)/*log(3)|
3 *|log (3) + 2*\1 + cot (x)/*|-1 + -----------| + ----------------------|
   |                          |          2     |           cot(x)        |
   \                          \       cot (x)  /                         /
--------------------------------------------------------------------------
                                  cot(x)

$$\frac{3^{x} \left(2 \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(3 \right)}}{\cot{\left(x \right)}} + \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{\cot{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

   /                                                                                                           /            2   \       \
   |                                                                                             /       2   \ |     1 + cot (x)|       |
   |                                          2                  3                             6*\1 + cot (x)/*|-1 + -----------|*log(3)|
   |                   3         /       2   \      /       2   \         2    /       2   \                   |          2     |       |
 x |         2      log (3)   10*\1 + cot (x)/    6*\1 + cot (x)/    3*log (3)*\1 + cot (x)/                   \       cot (x)  /       |
3 *|4 + 4*cot (x) + ------- - ----------------- + ---------------- + ----------------------- + -----------------------------------------|
   |                 cot(x)           2                  4                      2                                cot(x)                 |
   \                               cot (x)            cot (x)                cot (x)                                                    /

$$3^{x} \left(\frac{6 \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(3 \right)}}{\cot{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\cot^{4}{\left(x \right)}} - \frac{10 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(3 \right)}^{2}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + 4 \cot^{2}{\left(x \right)} + 4 + \frac{\log{\left(3 \right)}^{3}}{\cot{\left(x \right)}}\right)$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Derivada de y=3^x/ctgx

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2